2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 22:22 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует ли бесконечная последовательность квадратов натуральных чисел,
в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих?
(О.Крыжановский)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 22:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для решения нужно повозиться с пифагоровыми тройками, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 23:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv в сообщении #528586 писал(а):
Для решения нужно повозиться с пифагоровыми тройками, да?

Если честно, о тройках я не подумала. Лично мне другой метод ближе.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 23:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Мне кажется, не существует, но ничего другого сказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 23:36 


26/08/11
2150
В пифагоровых троек хотя бы одно число - четное. Если в последовательности существует нечетное, то получатя 2 последовательных нечетных и уже никак. А если все четные, то всю последовательность можно сокращать на 4 пока не получится нечетное.

Так выходит, что последовательность из 5-ти элементов не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 23:41 


11/07/11
164
"Другой метод" - это, как обычно, теория сравнений? :)
По модулю три, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение18.01.2012, 23:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну вот, как всё просто оказалось. Ещё раз поражаюсь, как некоторые хорошо с теорией чисел ладят!

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 02:34 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Shadow в сообщении #528627 писал(а):
Так выходит, что последовательность из 5-ти элементов не существует?
Не существует даже и 4-х. Предположим, что для некоторых взаимно простых $a$ и $b$ оба числа $a^2+b^2$ и $a^2+2b^2$ оказались точными квадратами. Тогда для некоторых натуральных чисел $m>n$ разной чётности будем иметь либо а) $a=2mn$, $b=m^2-n^2$ либо б) $a=m^2-n^2$, $b=2mn$. В случае а) получим $a^2+2b^2 \equiv 2 \pmod{4}$, а в случае б) --- $a^2+2b^2=(m^2-n^2)^2+8m^2n^2=m^4+6m^2n^2+n^4$, что также невозможно, поскольку последнее число является конгруэнтным.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 06:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Я поделил корни из первых двух чисел на максимальную степень двойки, которая в них оба входит. Квадраты, соответственно, поделились на степень четвёрки. С остальными числами проделал то же самое. Новая последовательность опять же состоит из квадратов целых чисел и строится по принципу чисел Фибоначчи, но у неё, как минимум, одно из двух первых чисел нечётное. Дальше остаётся рассмотреть остатки по модулю $4$ - квадрат может давать только $0$ или $1$. Есть всего $3$ случая: $0,1,1,2,...$, $1,0,1,2,...$ и $1,1,2...$ Как видим, всё просто - "запрещённая" двойка появляется не позже 4-го шага.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 08:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
А $1,0,1,1,\dots$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 16:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Хочу добавить к решению nnosipov, что если $a^2+b^2=c^2$, то и $a^2+2b^2$ и $b^2+2a^2$, являются конгруэнтными числами и поэтому не могут быть квадратами.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
nnosipov в сообщении #528738 писал(а):
А $1,0,1,1,\dots$?
Да, пардон, $1,0,1,1,2,\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 18:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
scwec в сообщении #528885 писал(а):
если $a^2+b^2=c^2$, то и $a^2+2b^2$, и $b^2+2a^2$ являются конгруэнтными числами
Рассмотрим в случае б) число $S=2a^2+b^2=2(m^4+n^4)$. Тогда $4S=p^4+6p^2q^2+q^4$, где $p=m+n$, $q=m-n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 19:23 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
А можно так: пусть $a^2+b^2=c^2 \quad(1)$, $b^2+c^2=d^2 \quad(2)$. Из $(1)$ $c^2-b^2=a^2$, а из $(2)$ $c^2-b^2$ - конгруэнтное число.
Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Фибоначчевый суп" из квадратов
Сообщение19.01.2012, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Давайте вместо детской задачи решим взрослую: доказать, что по любому простому нечетному модулю в последовательности Фибоначчи найдется неквадрат. (А это правильно вообще?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group