2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители
Сообщение18.01.2012, 21:36 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
$\left\{a_n\right\}$ - арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, $p_n$ - наибольший простой делитель $a_n$ при каждом натуральном $n$. Доказать, что последовательность $\left\{ {\frac{{{a_n}}}{{{p_n}}}} \right\}$ неограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители
Сообщение18.01.2012, 21:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть $h$ шаг арифметической прогрессии, то любое простое число не делящее h является делителем некоторого члена, найдется член который делится и на два таких простых числа, соответственно после сокращения на наибольший простой делитель останется делитель не меньше одного из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители
Сообщение19.01.2012, 04:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Это СПб, 1999, отбор. Нашёл у себя вот такое решение.

Пусть $a_n=An+B$. Положим $n_k=Bk$ и рассмотрим подпоследовательность $\{b_k\}$, где $b_k=a_{n_k}=B(Ak+1)$. Для бесконечно многих $k$ число $Ak+1$ является квадратом: $Ak+1=x_k^2$. Для таких $k$ имеем $b_k=Bx_k^2$ и ясно, что отношение $b_k/p_{n_k}$ не ограничено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители
Сообщение19.01.2012, 07:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
nnosipov, ну хотя бы указали, что $k=m^2A+2m$, для приличия. Правда, если $A=0$ (а такой вариант никто не исключал), то доказать неограниченность $\left\{ {\frac{{{a_n}}}{{{p_n}}}} \right\}$ будет проблематично :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители
Сообщение19.01.2012, 08:47 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Dave в сообщении #528714 писал(а):
nnosipov, ну хотя бы указали, что , для приличия.

Не понял юмора. Если в арифметической прогрессии из натуральных чисел есть хотя бы один точный квадрат, то точных квадратов в ней бесконечно много --- это общеизвестный факт. О каком приличии идёт речь?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group