Арифметическая прогрессия и наибольшие простые делители

[Edward_Tur]

$\left\{a_n\right\}$ - арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, $p_n$ - наибольший простой делитель $a_n$ при каждом натуральном $n$. Доказать, что последовательность $\left\{ {\frac{{{a_n}}}{{{p_n}}}} \right\}$ неограничена.

[Руст]

Пусть $h$ шаг арифметической прогрессии, то любое простое число не делящее h является делителем некоторого члена, найдется член который делится и на два таких простых числа, соответственно после сокращения на наибольший простой делитель останется делитель не меньше одного из них.

[nnosipov]

Это СПб, 1999, отбор. Нашёл у себя вот такое решение.

Пусть $a_n=An+B$. Положим $n_k=Bk$ и рассмотрим подпоследовательность $\{b_k\}$, где $b_k=a_{n_k}=B(Ak+1)$. Для бесконечно многих $k$ число $Ak+1$ является квадратом: $Ak+1=x_k^2$. Для таких $k$ имеем $b_k=Bx_k^2$ и ясно, что отношение $b_k/p_{n_k}$ не ограничено.

[Dave]

nnosipov, ну хотя бы указали, что $k=m^2A+2m$, для приличия. Правда, если $A=0$ (а такой вариант никто не исключал), то доказать неограниченность $\left\{ {\frac{{{a_n}}}{{{p_n}}}} \right\}$ будет проблематично

[nnosipov]

Dave в сообщении #528714 писал(а):

nnosipov, ну хотя бы указали, что , для приличия.

Не понял юмора. Если в арифметической прогрессии из натуральных чисел есть хотя бы один точный квадрат, то точных квадратов в ней бесконечно много --- это общеизвестный факт. О каком приличии идёт речь?