Решается стандартным образом, только я забыл об интервалах совместимости.
Во первых из
следует
. Поэтому, вводя
и учитывая ее монотонность, на интервале
определим биективным образом со значениями больше 1 функцию
. Тогда в интервале
значения определяются однозначно
. Далее определяем в интервале
аналогичным образом и т.д.
Руст, боюсь, что в Ваших рассуждениях опять ошибка. Если, к примеру,
, то тогда, согласно Вашему построению,
, в то время как
.
Я делал так. Пусть
. Эта функция строго монотонна на интервалах
и
, причём
при всех
.Полагаем
и берём произвольные числа
,
и
. Берём также какие-нибудь строго монотонные и непрерывные, например линейные функции
и
, определённые соответственно на отрезках
и
, такие, что
,
,
,
. Обозначим
,
,
,
,
, а также
,
,
,
,
и
,
,
,
,
. Тогда
, причём
, а также
, причём
и
. Определим теперь функцию
при
так:
где целое число
в последних двух случаях может принимать и отрицательные значения, а функция
определяется как
Нетрудно видеть, что это определение корректно, т.к.
всегда попадает либо в
, либо в
и данная
удовлетворяет требуемому соотношению
, т.к. если
, то
, а если
, то
. Кроме этого, хотя этого и не требовалось, функция
непрерывна и строго монотонна при
.
Для
же положим
, тогда, т.к
, то
.