Найти функцию

[Ktina]

Пусть функция $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ такова, что $f(f(x))=x^2-x+1$ для всех вещественных $x$.

а) Чему равно $f(0)$?

б) Найти хотя бы одну такую функцию.

[nnosipov]

а) Имеем $f(x^2-x+1)=f(x)^2-f(x)+1$ для всех $x$. Подставив $x=1$, получим $f(1)=1$. Теперь подставим $x=0$ и получим $f(0)^2-f(0)=0$, откуда $f(0)=0$ или $f(0)=1$. Первое невозможно, а значит, $f(0)=1$.

[Руст]

Таких функций бесконечно много. Одно ограничение $f(1-x)=f(x)$ или $f(1-x)=1-f(x)$ и $f(0)=f(1)=1$. Поэтому определим значения функции в интервале $g:[\frac 12,1)\to (1,\infty),f(x)=g(x)$, как произвольную биективную и доопределим $f(a)=(g^{(-1)}(a))^2-g^{(-1)}(a)+1$ для $a\in (1,\infty)$. Для $x<\frac 12$ определим из условия $f(x)=f(1-x).$

[Dave]

Руст в сообщении #528552 писал(а):

Таких функций бесконечно много. Одно ограничение $f(1-x)=f(x)$ или $f(1-x)=1-f(x)$ и $f(0)=f(1)=1$. Поэтому определим значения функции в интервале $g:[\frac 12,1)\to (1,\infty),f(x)=g(x)$, как произвольную биективную и доопределим $f(a)=(g^{(-1)}(a))^2-g^{(-1)}(a)+1$ для $a\in (1,\infty)$. Для $x<\frac 12$ определим из условия $f(x)=f(1-x).$

И что? Если $g(2/3)=3$, а $g(7/9)=2$, то $f(3)=(g^{(-1)}(3))^2-g^{(-1)}(3)+1=(2/3)^2-2/3+1=7/9$ и $f(f(3))=g(7/9)=2 \ne 3^2-3+1$. Да и если записывать $g(x)$ явным образом, то чему равно $g(1/2)$? $1$? $\infty$? Не всё так просто. У меня получилось определить $f(x)$ кусочным образом на бесконечном числе интервалов. А "красивую" $f(x)$ кто-нибудь придумал?

[Руст]

Решается стандартным образом, только я забыл об интервалах совместимости.
Во первых из $f(x)=f(y), x,y\ge 1/2$ следует $x=y$. Поэтому, вводя $\phi(x)=x^2-x+1$ и учитывая ее монотонность, на интервале $(\frac 12,1)$ определим биективным образом со значениями больше 1 функцию $f(x), f:[\frac 12,1)\to (1,y_1]$. Тогда в интервале $(1,y_1]$ значения определяются однозначно $f(x)=\phi(y), y=f^{-1}(x)$. Далее определяем в интервале $(y_1,y_2]\to (y_2,y_3]$ аналогичным образом и т.д.

[Dave]

Руст в сообщении #528732 писал(а):

Решается стандартным образом, только я забыл об интервалах совместимости.
Во первых из $f(x)=f(y), x,y\ge 1/2$ следует $x=y$. Поэтому, вводя $\varphi(x)=x^2-x+1$ и учитывая ее монотонность, на интервале $(\frac 12,1)$ определим биективным образом со значениями больше 1 функцию $f(x), f:[\frac 12,1)\to (1,y_1]$. Тогда в интервале $(1,y_1]$ значения определяются однозначно $f(x)=\varphi(y), y=f^{-1}(x)$. Далее определяем в интервале $(y_1,y_2]\to (y_2,y_3]$ аналогичным образом и т.д.

Руст, боюсь, что в Ваших рассуждениях опять ошибка. Если, к примеру, $f(1/2)=y_1=2$, то тогда, согласно Вашему построению, $f(f(2))=f(f(y_1))=f(\varphi(f^{-1}(y_1)))=f(\varphi(1/2))=f(3/4)<y_1=2$, в то время как $\varphi(2)=2^2-2+1=3>2$.

Я делал так. Пусть $g(x)=x^2-x+1$. Эта функция строго монотонна на интервалах $(-\infty, 1/2)$ и $(1/2, +\infty)$, причём $g(x)>x$ при всех $x \ne 1$.Полагаем $t_0=1/2$ и берём произвольные числа $t_1 \in (t_0,g(t_0))$, $s_0 \in (1,+\infty)$ и $s_1 \in (s_0,g(s_0))$. Берём также какие-нибудь строго монотонные и непрерывные, например линейные функции $l(x)$ и $m(x)$, определённые соответственно на отрезках $[t_0,t_1]$ и $[s_0,s_1]$, такие, что $l(t_0)=t_1$, $l(t_1)=g(t_0)$, $m(s_0)=s_1$, $m(s_1)=g(s_0)$. Обозначим $t_2=g(t_0)$, $t_3=g(t_1)$, $t_4=g(t_2)$, $t_5=g(t_3)$, $\ldots$, а также $s_2=g(s_0)$, $s_3=g(s_1)$, $s_4=g(s_2)$, $s_5=g(s_3)$, $\ldots$ и $s_{-1}=g^{(-1)}(s_1)$, $s_{-2}=g^{(-1)}(s_0)$, $s_{-3}=g^{(-1)}(s_{-1})$, $s_{-4}=g^{(-1)}(s_{-2})$, $\ldots$. Тогда $1/2=t_0<t_1<t_2<t_3\dots<1$, причём $\lim\limits_{n \to +\infty} t_n = 1$, а также $1<\dots<s_{-2}<s_{-1}<s_0<s_1<s_2<s_3\dots<+\infty$, причём $\lim\limits_{n \to -\infty} s_n = 1$ и $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n = +\infty$. Определим теперь функцию $f(x)$ при $x \geqslant 1/2$ так:

$$f(x)=\begin{cases} g^{(n)}(l(g^{(-n)}(x))), &t_{2n} \leqslant x <t_{2n+1};\\ g^{(n+1)}(l^{(-1)}(g^{(-n)}(x))), &t_{2n+1} \leqslant x <t_{2n+2};\\ g(x)=1, &x=1;\\ g^{(n)}(m(g^{(-n)}(x))), &s_{2n} \leqslant x <s_{2n+1};\\ g^{(n+1)}(m^{(-1)}(g^{(-n)}(x))), &s_{2n+1} \leqslant x <s_{2n+2}, \end{cases}$$

где целое число $n$ в последних двух случаях может принимать и отрицательные значения, а функция $g^{(n)}(x)$ определяется как

$$g^{(n)}(x)=\begin{cases} \underbrace{g(g(\dots (g(x))))}_{n \text{ раз}}, &n>0; \\ x, &n=0; \\ \underbrace{g^{(-1)}(g^{(-1)}(\dots (g^{(-1)}(x))))}_{-n \text{ раз}}, &n<0. \end{cases}$$

Нетрудно видеть, что это определение корректно, т.к. $g^{(-n)}(x)$ всегда попадает либо в $[t_0,t_2)$, либо в $[s_0,s_2)$ и данная $f(x)$ удовлетворяет требуемому соотношению $f(f(x))=g(x)$, т.к. если $x \in [t_i,t_{i+1})$, то $f(x) \in [t_{i+1},t_{i+2})$, а если $x \in [s_i,s_{i+1})$, то $f(x) \in [s_{i+1},s_{i+2})$. Кроме этого, хотя этого и не требовалось, функция $f(x)$ непрерывна и строго монотонна при $x \geqslant 1/2$.
Для $x<1/2$ же положим $f(x)=f(1-x)$, тогда, т.к $1-x \in (1/2,+\infty)$, то $f(f(x))=f(f(1-x))=g(1-x)=g(x)$.