Вычислить поверхностный интеграл второго рода

[Borshenko]

Вот еще один пример завел меня в тупик
Вычислить поверхностный интеграл второго рода $\int\int\limits_S y^2+z^2 dydz$, где S - часть поверхности параболоида $x=9-y^2-z^2$ (нормальный вектор n которой образует острый угол с ортом i)? отсеченная плоскостью x=0

[Borshenko]

Помогите, пожалуйста!

[phys]

$\int\limits_S y^2+z^2 dydz$ - уверены что именно так? Может быть $\int\limits_S y^2+z^2d\sigma$ ?
Ибо поверхностный интеграл по определению $\int\limits_S (\bar a \ \bar n)d\sigma$, и $d\sigma$ в данном случае вовсе не равняется $dydz$

[svv]

Ну, у него же второго рода, т.е. $\int {P\;dy\;dz + Q \;dz\; dx + R \; dx \; dy}$.

[phys]

А, тоесть имеется ввиду поле $\bar a = (P,\ 0,\ 0)$ ?

[svv]

Да, да, по-нашему это так.

[Borshenko]

Да, точно так, только еще я скобки упустил $\int\int\limits_S (y^2+z^2) dydz$ и предлагаемый ответ $81\pi / 2$

[phys]

Ну тогда ничто не отличает ваш интеграл от двойного, переходите в полярные координаты, уже на вскидку посчитать в уме, видно откуда получается $81\pi / 2$, не забудьте про якобиан перехода.

[svv]

Borshenko, Вам всё понятно? Или не совсем?

[Borshenko]

К сожалению, не совсем...

[svv]

Вводим на плоскости $yOz$ полярные координаты $(\rho, \varphi)$ (обычно они вводятся на плоскости xOy).
При этом $y=\rho \cos\varphi,\;\; z=\rho \sin\varphi$, тогда $\rho^2=y^2+z^2$.

Ваша подынтегральная функция $y^2+z^2$ тогда запишется как ...
$dy\;dz$ тогда запишется как ...
Область интегрирования тогда запишется как ...

Хотя бы что-то из этого знаете?

[Dan B-Yallay]

phys в сообщении #528120 писал(а):

... не забудьте про якобиан перехода.

[Borshenko]

С функциями все понятно, а вот с областью... Дело в том, что в интеграле отсутствует $x$, а поверхность получается параболоид с осью симметрии $Ox$, вершиной (9,0,0) и плоскость $yOz$ пересекает по окружности $y^2+z^2=9$, т.е. радиусом 3 и центром в начале координат. Получается, что $y$ изменяется от 0 до 3, $z$ от 0 до $\sqrt{9-y^2}$. А что делать с $x$?

[phys]

Ну это опять же не верно, во первых $y$ и $z$ изменяются не от ноля, во вторых вам уже написали что нужно переходить в полярные координаты, которые меняться будут уже попроще, без корней, в целых цифрах.

Ну вобще с учетом симметрии можно и от ноля, но тогда не забыть умножить интеграл на $4$.

[Borshenko]

Вот вроде бы со всем разобрался, но ответ немного не сходится.
$y=\rho \cos\varphi, z=\rho \sin\varphi, y^2+z^2=\rho^2, dydz=\rho d\rho d\varphi$
Учитывая, что $\rho$ - радиус окружности и он равен 3, а $\varphi=2\pi$ мой интеграл запишется так:
$\int\limits_0^3 d\rho\int\limits_0^{2\pi} \rho^2 \rho \sin\varphi \cos\varphi d\varphi = 1/2\int\limits_0^3 \rho^3 d\rho\int\limits_0^{2\pi} \sin{2\varphi} d\varphi$ = -1/4\int\limits_0^3 \rho^3 (\cos{2\varphi})\bigg|_0^{2\pi} d\rho = -\pi/2\int\limits_0^3 \rho^3 d\rho= - \pi/2 (\rho^4/4)\bigg|_0^3=-81\pi/8
А ответ должен быть $81\pi/2$
Где я допустил ошибку?