Привет.
В задаче требуется доказать равномерную сходимость ряда:
![$$\sum_{k=1}^{k=\infty}\frac{\arctg(x / k)}{x + k}, \text{ при } 0 \leq x < \infty.$$ $$\sum_{k=1}^{k=\infty}\frac{\arctg(x / k)}{x + k}, \text{ при } 0 \leq x < \infty.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/a/7ea3d20fba1921f72dc6d6bd6e969b2e82.png)
Я пишу доказать, потому что, пришёл к выводу, что действительно ряд сходится равномерно в этом промежутке (возможно и ошибаюсь). Меня интересует, можно ли провести следующее доказательство.
Запишем
![$$\frac{\arctg(x / k)}{x + k} = \int\limits_0^{x}\left(\frac{1}{k (1 + t^2/k^2)(t + k)} - \frac{\arctg(t / k)}{ (t + k)^2}\right) d t.$$ $$\frac{\arctg(x / k)}{x + k} = \int\limits_0^{x}\left(\frac{1}{k (1 + t^2/k^2)(t + k)} - \frac{\arctg(t / k)}{ (t + k)^2}\right) d t.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98a204555c8010135e2a6ab4987abd6f82.png)
И рассмотрим ряды составленные из элементов стоящими под интегралом. Докажем, что они сходятся равномерно на требуемом промежутке.
Имеем
![$$\frac{1}{k (1 + t^2/k^2)(t + k)} \leq \frac{1}{k^2}$$ $$\frac{1}{k (1 + t^2/k^2)(t + k)} \leq \frac{1}{k^2}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/c/d6c210d1ece9ccaa9f3f8493330da3da82.png)
и
![$$\frac{\arctg(t / k)}{ (t + k)^2} \leq \frac{\pi / 2}{k ^ 2}. $$ $$\frac{\arctg(t / k)}{ (t + k)^2} \leq \frac{\pi / 2}{k ^ 2}. $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/0/c907024d52c2fcaa52a9a0b70daf2de782.png)
По признаку Вейерштрасса, тогда, упомянутые ряды сходятся равномерно. Тогда и ряд составленный из их разности (всего что стоит под интегралом) тоже сходится равномерно.
Получаем, что элементы исходного ряда представимы в виде интеграла от элементов ряда, сходящегося равномерно на
![$[0, \infty)$ $[0, \infty)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/c/accadbe9f93ed6ec6d4f6aa833625a7e82.png)
, значит и исходный ряд будет сходится равномерно на этом промежутке.
Я не уверен, в правильности последнего утверждения, т. к. здесь фигурирует бесконечный промежуток. Доказательства, которые я смотрел в книгах, проводятся для конечного отрезка типа
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
, однако, вроде бы его можно модифицировать на бесконечный промежуток. Думаю в подробности вдаваться не стоит, знающие люди и так смогут сказать, можно ли так поступить или нет.
Также интересует, не может ли кто-нибудь предложить другое, возможно более простое, доказательство равномерности (или неравномерности) сходимости данного ряда на этом промежутке.