Периодическая система координат

[evgeniy]

Формулы преобразования от криволинейных координат к декартовым имеют вид
$x_1=r \sin\varphi_1 f(\varphi_1,\varphi_2)/\sqrt{\sin^2 \varphi_1 f^2(\varphi_1,\varphi_2) +\sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2,\varphi_1) + g^2(\varphi_1,\varphi_2)} $
$x_2=r \sin\varphi_2 f(\varphi_2,\varphi_1)/\sqrt{\sin^2 \varphi_1 f^2(\varphi_1,\varphi_2) + \sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2,\varphi_1) + g^2(\varphi_1,\varphi_2)} $
$x_3=r g(\varphi_1,\varphi_2),\sqrt{\sin^2\varphi_1 f^2(\varphi_1,\varphi_2) + \sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2,\varphi_1) +g^2(\varphi_1,\varphi_2)}\eqno(1.1) $
$\sum_{l=1}^{3} x^2_l=r^2,\arg(x_3+i x_1)=\arg[g(\varphi_1,\varphi_2) + i \sin\varphi_l f(\varphi1,\varphi2)]$
Знак первых из двух формул преобразования (1.1) должен совпадать с величиной $\sin\varphi_l,l=1,2$. При этом на поверхности тела имеем значение функции $r=R_0$ . При этом в результате построения преобразования координат получим периодическую зависимость от углов $\varphi_1,\varphi_2$ Неизвестные функции $f(\varphi_1,\varphi_2), f(\varphi_2,\varphi_1), g(\varphi_1,\varphi_2)$ определим из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
$g_{12}[\varphi_1,\varphi_2,\frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_2},\frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_2}\frac{\partial g}{\partial \varphi_1},\frac{\partial g}{\partial \varphi_2}]=0$
$g_{11}[\varphi_1,\varphi_2, \frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_2},\frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_2},\frac{\partial g}{\partial \varphi_1},\frac{\partial g}{\partial \varphi_2}]=$
$=g_{22}[\varphi_1,\varphi_2, \frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_2},\frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_1}, \frac{\partial f(\varphi_2,\varphi_1)}{\partial \varphi_2},\frac{\partial g}{\partial \varphi_1},\frac{\partial g}{\partial \varphi_2}]$
где величины $g_{lk}$ это ковариантная составляющая метрического тензора.
При этом угловая часть метрического интервала запишется в виде
$ds^2 =g_{11}(\varphi_1,\varphi_2)d\varphi_1^2+ g_{22}(\varphi_1,\varphi_2) d\varphi_2^2$
При этом в силу симметрии углов для коэффициентов метрического тензора выполняется
$g_{11} (\varphi_1,\varphi_2)= g_{22} (\varphi_1,\varphi_2) = g_{11} (\varphi_2,\varphi_1) $
И лапласиан запишется в виде
$\frac{1}{r^2}[ \frac{\partial }{\partial r} r^2 \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{\sqrt{g_{11}g_{22}}}(\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial \varphi_2^2})]=0$
Преимущество данного Лапласиана в том, что решение представляется в виде мнимой экспоненты, которая легко считается на ЭВМ в отличие от сферических функций. Кроме того, сумма ряда Фурье из мнимых экспонент лучше сходится, и требуется меньше членов для его аппроксимации. А в случае аналитических функций коэффициенты зависят от индекса по экспоненте с отрицательным показателем.

[migmit]

Что это было?

[shwedka]

evgeniy
Вы продолжаете повторять многократно разоблаченные глупости. На этот раз в форме череды бестолковых, ошибочных, либо недоказанных утверждений.

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

При этом в результате построения преобразования координат получим периодическую зависимость от углов $\varphi_1,\varphi_2$

Периодическую зависимость чего? Почему?

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

Неизвестные функции $f(\varphi_1,\varphi_2), f(\varphi_2,\varphi_1), g(\varphi_1,\varphi_2)$ определим из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Уравнения не дифференциальные. Почему у них сеть глобальные решения? ПОчему есть периодические решения?

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

И лапласиан запишется в виде

Это не лапласиан, а уравнение Лапласа

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

И лапласиан запишется в виде

Не в этом виде! Будут выражения типа
$\frac{\partial}{\partial \phi_1}g \frac{\partial}{\partial \phi_1}$

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

решение представляется в виде мнимой экспоненты

Не представится!

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

Кроме того, сумма ряда Фурье из мнимых экспонент лучше сходится, и требуется меньше членов для его аппроксимации

Ваше личное измышление.

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

А в случае аналитических функций коэффициенты зависят от индекса по экспоненте с отрицательным показателем.

А что тут делают аналитические функции? Ведь у Вас нет никаких комплексных переменных.

[evgeniy]

Отвечаю только на существенные возражения. почему решение периодическое. РЕшение ищем в виде (оно периодическое, потому что найдется в виде периодической функции)
$f(\varphi_1,\varphi_2)=\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} a_{nm}\exp(in\varphi_1+im\varphi_2)$
$g(\varphi_1,\varphi_2)=\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} b_{nm}\exp(i n\varphi_1+i m\varphi_2)$
подставляем решение в уравнения в частных производных, умножаем на величину $\exp(ip\varphi_1+iq\varphi_2)$ и интегрируем по углам. Получаем нелинейное уравнение относительно коэффициентов $a_{nm},b_{nm}$. Получаем возможно комплексное периодическое решение.
По поводу коэффициентов в частных производных $\frac{\partial }{\partial \varphi_1}g\frac{\partial }{\partial \varphi_1}$.
Это никуда не годится, элементарная ошибка с Вашей стороны. Этот член равен
$\frac{1}{r h_1 h_2}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}\frac{r h_2}{h_1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}$.
ПРичем имеем $h_1=h_2$ и значит между операторами частной производной стоит единица, радиус выносится.
ТЕперь по поводу аналитической функции. Отсылаю к книге Федорюка Асимптотика. Интегралы. Ряды. Асимтотика ряда Фурье аналитических функций, где переменная z рассматривается в действительной плоскости имеет вид $\exp(-c n)$, где n индекс, с равняется логарифму радиуса сходимости аналитической функции z, не помню верхний или нижний предел радиуса сходимости.
Ряд Фурье из мнимых экспонент сходится лучше других периодических рядов, по теореме о наилучшей сходимости ряда Фурье. он сходится лучше сферической функции, так как существует связь между гладкостью функции и степени индекса коэффициента разложения у ряда из мнимых экспонент. И частности если гладкость доходит до аналитического вида функции он сходится с отрицательным показателем экспоненты. Этой связи у сферической функции нет.
Так что бестолковость проявили Вы, единственная ошибка которую я допустил, это назвал оператор лапласа лапласианом.
Скажу более, мне удалось построить ортогональные периодические углы с коэффициентом Ламе, равным радиусу. Не пугайтесь теорема Гаусса не нарушена, при этом радиус и декартовы координаты оказываются комплексными. Удалось определить физический смысл комплексных декартовых координат и построить из комплексного решения действительное. Я все это изложу в ближайших постах.

[evgeniy]

По поводу коэффициента в частных производных. Я несколько напутал, но это не влияет на окончательный результат. Один из членов уравнения Лапласа выглядит следующим образом
$\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial }{\partial \varphi_1}\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}$
так как коэффициент Ламе у радиуса равен единице, получаем
$\frac{1}{h_1 h_2} \frac{\partial }{\partial \varphi_1}\frac{h_2}{h_1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}$
и так как выполняется $h_1=h_2$, получаем формулу
$\frac{1}{h_1 h_2} \frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}$
У меня в сообщении лишний радиус в числителе и знаменателе, который сокращается и не оказывает влияние на правильность формулы.

-- Чт янв 12, 2012 19:08:47 --

Формулы преобразования от криволинейных координат к декартовым имеют вид
$x_1=r \sin\varphi_1 f(\varphi_1)/\sqrt{\sin^2 \varphi_1 f^2(\varphi_1)+ \sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2)+g^2(\varphi_1) g^2(\varphi_2)} $
$x_2=r \sin\varphi_2 f(\varphi_2)/\sqrt{\sin^2 \varphi_1 f^2(\varphi_1)+ \sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2)+g^2(\varphi_1) g^2(\varphi_2)} $
$x_3=r g(\varphi_1) g(\varphi_2)/\sqrt{\sin^2 \varphi_1 f^2(\varphi_1)+ \sin^2\varphi_2 f^2(\varphi_2)+g^2(\varphi_1) g^2(\varphi_2)} \eqno(1.1) $
$\sum_{l=1}^{3} x^2_l=r^2,\arg(x_3+i x_1)=\arg[g(\varphi_1)g(\varphi_2) + i \sin\varphi_l f(\varphi1)]$
Знак первых из двух формул преобразования (1.1) должен совпадать с величиной $\sin\varphi_l,l=1,2$. При этом на поверхности тела имеем значение функции $r=R_0$ . При этом в результате построения преобразования координат получим периодическую зависимость от углов $\varphi_1,\varphi_2$ Неизвестные функции $f(\varphi_1),f(\varphi_2),g(\varphi_1),g(\varphi_2)$ определим из двух дифференциальных уравнений в производных первого порядка
$g_{12}=g(\varphi_1,\varphi_2,\frac{d f(\varphi_1)}{d \varphi_1}, \frac{d f(\varphi_2)}{d \varphi_2},\frac{d g(\varphi_1)}{d \varphi_1},\frac{d g(\varphi_2)}{d \varphi_2})=0\eqno(1.2)$
$g_{11}=g(\varphi_1,\varphi_2,\frac{d f(\varphi_1)}{d \varphi_1}, \frac{d f(\partial_2)}{d \varphi_2},\frac{d g(\varphi_1)}{d \varphi_1}g(\varphi_2),\frac{d g(\varphi_2)}{ \varphi_2}g(\varphi_1) )=1\eqno(1.3)$

где величины $g_{lk}$ это ковариантная составляющая метрического тензора. Решив уравнение (2.3) в силу симметрии углов, получим $g_{22}=1$. В случае 4 мерного пространства, получим из одного равенства $g_{12}$=0 получим два равенства $g_{13}=0,g_{23}=0$ . В силу равенства $g_{11}=1$ и симметрии углов получим еще два равенства $g_{22}=1, g_{33}=1$ .
Решать систему уравнений (1.2), (1.3) будем при равенстве углов $\varphi_1=\varphi_2=\varphi$ . Тогда будем иметь два дифференциальных уравнения относительно $f(\varphi),g^2(\varphi) $ . Причем величина $g(\varphi)$ может оказаться мнимой при отрицательном решении относительно $g^2(\varphi) $. При этом необходимо строить особое решение системы дифференциальных уравнений, не содержащее неизвестных начальных условий. Т.е. решение надо искать в виде
$f(\varphi)=\sum_{n=1}^{N}a_n \exp(i n \varphi) $
$g^2(\varphi)=\sum_{n=1}^{N}b_n \exp(i n \varphi) $
Подставляя это решение в дифференциальное уравнение, умножая дифференциальное уравнение на величину $ \exp(i m \varphi)$ и интегрируя по углу, получим нелинейное уравнение относительно коэффициентов $a_n,b_n$.
При этом декартовы координаты окажутся комплексными в силу комплексного значения коэффициентов $a_n,b_n$, причем не обязательно коэффициент с отрицательным и положительным индексом окажутся комплексно сопряженными. В следующем сообщении я опишу, как из комплексных декартовых координат получить действительные координаты.
Но уравнение Лапласа запишется в виде, где радиус комплексная величина
$\frac{1}{r^2}[\frac{\partial }{\partial r} r^2 \frac{\partial }{\partial r} + \frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_2^2}]=0$
В силу комплексного характера радиуса теорема Гаусса о кривизне не применима, и можно построить углы, обладающие простым уравнением Лапласа.
С уравнением Гельмгольца сложнее, если уравнение Лапласа имеет решение в виде радиуса, являющегося степенной функцией, то уравнение Гельмгольца имеет решением функции Бесселя и комплексный аргумент приводит к затуханию или росту решения с ростом аргумента. Поэтому надо выбирать решение волнового уравнения, где комплексный радиус не приводит к затуханию, и исключить уравнение Гельмгольца с функциями Бесселя. Разбиение волнового уравнения в интеграл Фурье (т.е. сведение к уравнению Гельмгольца) с комплексным радиусом невозможно. Но волновое уравнение можно решать, используя данные ортогональные углы.

[AKM]

evgeniy в сообщении #525321 писал(а):

Отвечаю только на существенные возражения.

Все
возражения существенны,
а не только те, которые Вы соблаговолили принять!

См. также Правила форума, п. III, 3.2.

[shwedka]

задаю один существенный вопрос.

evgeniy в [url=http://dxdy.лru/post525321.html#p525321]сообщении #525321[/url] писал(а):

Отвсечаю только на существенные возраженвия. почему решение периодичоеское. РЕшение ищем в виде (оно перио дическое, потому что найдетсят в виде периодической функциои)
$f(\varphi_1,\varphi_г2)=\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} a_{nm}\exp(in\varphi_1+im\varphi_2)$
$,g(\varphi_1,\varphi _2)=\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} b_{nm}\eчxp(i n\varphi_1+i m\varphi_2)$
подставляем решение в уравнения в частных производных, у множаем на величину $\exp(ip\varphi_1+iq\varphi_2)$ и интегрируем эпо углам. Получаем нелинейное уравнение относительно коэффициентов $a_{nm},b_{nm}$.

Есть ли у Вас доказательство того, что такая бесконечная нелинейная система имеет решение,
а
если имеет,
то ряды выше сходятся?

[evgeniy]

Для численного счета необходимо произвестви редукцию и ограничиться конечным числом членов. Получается система нелинейных уравнений, причем уравнений столько же сколько неизвестных. Эта система уравнений в комплексной плоскости обязательно имеет решение, причем комплексное.
Любые ряды Фурье сходятся в смысле обобщенных функций. Если ряд определяет не непрерывную функцию, то он все равно сходится в обобщенном смысле. Чтобы проверить к какой функции сходится ряд, его нужно численно подсчитать. Численный счет покажет, определятся ли коэффициенты ряда и будет ли ряд сходящийся к непрерывной или обобщенной функции.
Решать систему нелинейных уравнения $F_l(x_1,...,x_N)=0$ можно с помощью дифференциальных уравнений.
$\frac{d x_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$
которые в комплексной плоскости, т.е. когда правая часть системы дифференциальных уравнений действительна при действительных аргументах, время действительно, но начальные условия комплексные и тогда система дифференциальных уравнений обязательно сходится к положению равновесия, возможно комплексному, в случае однократных положений равновесия.
Доказательство этого довольно громоздко, но если Вы будете настаивать я его приведу. Но лучше я опишу физический смысл комплексного решения.
А вообще-то существуют методы решения систем нелинейных уравнений и без решения систем дифференциальных уравнений.

[shwedka]

evgeniоy в [urlм=http://dxdy.ru/post526441.html#p52 6441]сообщении #526441[/url] писал(а):

Для численного счета необходимо произвеестви редукцию и огранинчиться конечным числом членов.

Чепуха. не юлите. Либо проводиите редукцию,либо нет. Оценить-то погрешность при отбрасывании не можете!

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Эта система уравнений в комплексной плоскости обязательно имеет решение, причем комплексное.

Доказывать будете?

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Любые ряды Фурье сходятся в смысле обобщенных функций.

Во-первых, это неправда. Во-вторых, на замене с помощью обобщенных функций Вы уже были биты. постройте теорию, потом об этом и пишите.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Численный счет покажет

Пока что Вы как заяц от волка бегаете от показать Ваше изобретение на хотя бы одном конкретном примере. Так что расчета не будет.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

тогда система дифференциальных уравнений обязательно сходится к положению равновесия,

Доказывать будете?к тому же Вы не доказали, что положение рвновесия существует

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Вы будете настаивать я его приведу

Не приведете.
Поскольку утверждение неверно, а доказывать Вы не умеете.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

А вообще-то существуют методы решения систем нелинейных уравнений и без решения систем дифференциальных уравнений.т

Существуют, но только для таких, которые имеют решение.А пока что существование не доказано.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Но лучше я опишу физический смысл комплексного решения.

Неинтересно. пока что никакого комплексного решения нет. У того, чего нет,
нет и физического смысла.

[evgeniy]

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

evgeniоy в [urlм=http://dxdy.ru/post526441.html#p52 6441]сообщении #526441[/url] писал(а):

Для численного счета необходимо произвеестви редукцию и огранинчиться конечным числом членов.

Чепуха. не юлите. Либо проводиите редукцию,либо нет. Оценить-то погрешность при отбрасывании не можете!

Меня возмущают высказывания shwedka. РЕдукция это использование конечного числа членов вместо бесконечного, и никакого вычисления ошибки конечного числа членов редукция не требует.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Эта система уравнений в комплексной плоскости обязательно имеет решение, причем комплексное.

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Доказывать будете?

Любое нелинейное уравнение, разлагающееся в регулярный сходящийся ряд, если число неизвестных равно числу уравнений имеет комплескное решение. действительного решения может и не быть, но комплексное решение существует всегда. а рассматриваемая система уравнений представляет конечную формулу, причем разлагается в степенной ряд.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Любые ряды Фурье сходятся в смысле обобщенных функций.

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Во-первых, это неправда. Во-вторых, на замене с помощью обобщенных функций Вы уже были биты. постройте теорию, потом об этом и пишите.

Никакой теории строить не надо. ПОчитайте Владимиров. ОБобщенные функции. тАм четко сказано, что ряд Фурье из экспонент с мнимым показателем в смысле обобщенной функции сходится всегда. И не надо считать, что я не знаю это утверждение. Надо искать истину, а не заниматься подтасовкой фактов. Вы прекрасно знаете, что ряд Фурье из мнимых экспонент всегда сходится в смысле обобщенной функции.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Численный счет покажет

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Пока что Вы как заяц от волка бегаете от показать Ваше изобретение на хотя бы одном конкретном примере. Так что расчета не будет.

Если я не привожу примера численного счета, то это не значит, что это сделать невозможно. Просто это длительная процедура и не вписывается в тему форума. Кроме того, это не входит в то основное, что я хотел донести до участников форума.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

тогда система дифференциальных уравнений обязательно сходится к положению равновесия,

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Доказывать будете?к тому же Вы не доказали, что положение рвновесия существует

Я обратил внимание, что это длительное доказательство и если Вы будете настаивать я его приведу. Но боюсь Вы будете цыпляться к каждому пустяку, а полное изложение займет очень много места.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Вы будете настаивать я его приведу

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Не приведете.
Поскольку утверждение неверно, а доказывать Вы не умеете.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

А вообще-то существуют методы решения систем нелинейных уравнений и без решения систем дифференциальных уравнений.т

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Существуют, но только для таких, которые имеют решение.А пока что существование не доказано.

Система нелинейных уравнений представляет из себя полином от многих переменных при корне в преобразовании к декартовым координатам равном единице. Далее в результате итераций корень уточняется. Для такой системы уравнений существуют теоремы существования в комплексной плоскости.

evgeniy в сообщении #526441 писал(а):

Но лучше я опишу физический смысл комплексного решения.

shwedka в сообщении #526464 писал(а):

Неинтересно. пока что никакого комплексного решения нет. У того, чего нет,
нет и физического смысла.

Вообще как мне кажется ответ Shwedka составлен крайне недоброжелательно и проблемы, которые трудно решить, теоремы существования, возведены как препятствие для реализации интересного алгоритма. В конце концов надо начать реализовывать численно алгоритм,, а существует ли решение или нет, выяснится при счете. Тем более, что нелинейное уравнение представляет из себя полином на каждой итерации, а для полинома теоремы существования доказаны.
ПЕрвый этап всего нового, это просто алгоритм, а уже потом математики наводят на него математический глянец. А предлагаемый алгоритм является новым и не встречается в литературе.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

возведены как препятствие для реализации интересного алгоритма. В конце концов надо начать реализовывать численно алгоритм,, а существует ли решение или нет, выяснится при счете. Тем более, что нелинейное уравнение представляет из себя полином на каждой итерации, а для полинома теоремы существования доказаны.не доказаныПЕрвый этап всего нового, это просто алгоритм, а уже потом математики наводят на него математический глянец. А предлагаемый алгоритм является новым и не встречается в литературе

Алгоритм,
который собирается решать задачу, у которой нет решения, никому не нужен.
Именно потому он не встречается и никогда не встретится в литературе.

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

РЕдукция это использование конечного числа членов вместо бесконечного,

Ваша редукция--чистое жульничество.Вы свели систему диференциальных уравнений к бесконечной системе нелинейных уравнений, у которой нет решания. Теперь, оставив только конечное число членов, Вы получаете другую, алгебраичекую,систему.
даже если и ее решите,
это не даст решения исходной системы ду, а что-то другое.
И даже не будет приближением к нему.

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Любое нелинейное уравнение, разлагающееся в регулярный сходящийся ряд, если число неизвестных равно числу уравнений имеет комплескное решение

Ошибаетесь!

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Никакой теории строить не надо. ПОчитайте Владимиров. ОБобщенные функции. тАм четко сказано, что ряд Фурье из экспонент с мнимым показателем в смысле обобщенной функции сходится всегда.

Плохо прочитали. С чисто мнимым-да,
но у Вас же комплексный.К какой обобщенной функции сходится ряд
$\sum\exp(ikx)e^{2^k}$ ?

.

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Никакой теории строить не надо

Надо. Вы хотите использовать ОФ для замены переменных. А такой теории не существует.

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Если я не привожу примера численного счета, то это не значит, что это сделать невозможно

То, что это сделать невозможно, доказал Гаусс почти 200 лет назад. А что касается Вас, то, подчеркиваю,Вы ни одного конкретного примера разобрать не смогли.

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Я обратил внимание, что это длительное доказательство

Ошибка. Никакого доказательства нет и быть не может, поскольку утверждение неверно. То, что Вам кажется, что у Вас есть доказательство, роли не играет.

В дальнейшем,
поскольку 'автор' плодит ошибочные утверждения, подобно крольчихе,
при комментировании буду ограничиваться только первой ошибкой.

[Munin]

(Оффтоп)

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Меня возмущают высказывания shwedka.

А меня ваши...

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

Вообще как мне кажется ответ Shwedka составлен крайне недоброжелательно и проблемы, которые трудно решить, теоремы существования, возведены как препятствие для реализации интересного алгоритма.

Вообще теоремы существования (доказанные) - это самое первое, с чего начинаются математические публикации о каком-то новом предлагаемом к рассмотрению объекте (у вас неясно о каком, так как аннотацию вы не сформулировали). Если у вас существование вызывает проблемы, то это не просто препятствие, это полный крест на результатах, гроб и осиновый кол.

(Оффтоп)

evgeniy в сообщении #526688 писал(а):

ПЕрвый этап всего нового, это просто алгоритм, а уже потом математики наводят на него математический глянец.

Вы радикально ошибаетесь, полагая математику "глянцем", который можно "навести". Математика - это всегда суть происходящего.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #525321 писал(а):

Так что бестолковость проявили Вы, единственная ошибка которую я допустил, это назвал оператор лапласа лапласианом.

Лжете.
Вы назвали уравнение Лапласа Лапласианом

evgeniy в сообщении #520623 писал(а):

И лапласиан запишется в виде
$\frac{1}{r^2}[ \frac{\partial }{\partial r} r^2 \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{\sqrt{g_{11}g_{22}}}(\frac{\partial^2 }{\partial \varphi_1^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial \varphi_2^2})]=0$

[evgeniy]

Я долго думал над доказательством теоремы существования данного нелинейного уравнения. Дело в том, что умножая равенство метрического тензора на знаменатель, получим алгебраическую систему уравнений в виде полинома фиксированной степени от функций многих переменных. Докажем с помощью метода математической индукции, что из предположения, что комплексное решение существует для полинома от K переменных, оно существует и для полинома от К+1 переменной. При этом максимальная степень относительно любой переменной полинома равна S.
Для одной переменной это полином фиксированной степени, который имеет решение.
Допустим теорема верна для K переменных. ПРедставим полином от K+1 переменных в виде
$\sum_{s=1}^{S} P_{ns}(a_1,...,a_{K})a_{K+1}^s=\sum_{s=1}^S C_{ns}a_{K+1}^s=0 ,n=1,...,K+1$
Выберем коэффициенты $C_{ns}$ одинаковыми при произвольном n, и кроме того, существует k разных значений $C_{ns}$, тогда у всех уравнений коэффициент $a_{K+1}$ будет одинаков. По предположении система K уравнений с K неизвестными имеет решение
$ P_{ns}(a_1,...,a_K)=C_{ns}$.
Значит определятся все K+1 неизвестных. Т.е. бесконечная система нелинейных уравнений имеет комплексное решение.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #527647 писал(а):

получим алгебраическую систему уравнений в виде полинома фиксированной степени от функций многих переменных.

Не доказана фиксированность степени. Если бы исходная система была полиномиальной, можно было бы обсуждать. Но она таковой не является. Там синусы разные, корни.

Но и всяко, разрешимость любок конечной подсистемы не обеспечивает разрешимости бесконечной системы.