Определение умножения в поле из 8 элементов

[Koperfild]

Есть задача построить поле из 8 элементов. 8=2^3 , строю кольцо класса вычетов по mod 2, это 0, 1. Потом составляю все уравнения степенью ниже x^3 + 1 и с коэффициентами 0, 1 из нашего кольца. Поле построено, всё хорошо. Операция сложения-складываем 2 элемента и берём коэффициенты по mod 2. А вот с умножением в этом поле я не разобрался. Объясните пожалуйста алгоритм как находить произведение элементов. Вроде бы там остаток отделения по нашему mod 2, но никак не догоню.

Это поле http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=gf(8)&source=web&cd=3&ved=0CDoQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uic.edu%2F~leon%2Fmcs425-s08%2Fhandouts%2Ffield.pdf&ei=wAYTT6byIMvOsgbLlc0J&usg=AFQjCNHKv6A_x9WSwfVZAWUq4ZjdorJrbQ&sig2=zCCk_lYgdIPNvAru75ETTg&cad=rjt
Это операции над полем из 9 элементов, но всё то же самое [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Конечное_поле[/url]

[bot]

Неприводимый многочлен нашли? Покажите.
Перемножать многочлены по модулю неприводимого пробовали? Покажите.

-- Пн янв 16, 2012 00:40:21 --

Загрузил Вашу же ссылку - там всё написано и табличка есть. И что конкретно неясно?

[Sonic86]

Только $x^3+1$ не неприводим над $\mathbb{Z}_2$.
Пользуйтесь ТеХом, пожалуйста: topic183.html
Про конечные поля можно почитать в одноименной книге Лидла Нидеррайтера

[Koperfild]

bot в сообщении #527313 писал(а):

Перемножать многочлены по модулю неприводимого пробовали?

Вот объясните, что это значит и как делать и вопрос снят

[Sonic86]

Koperfild в сообщении #527319 писал(а):

Вот объясните, что это значит и как делать и вопрос снят

Перемножаете как обычно, коэффициенты берете по модулю $p$ (т.е. заменяете их на остаток от деления на $p$), и сам многочлен берете по модулю $f(x)$ - тот самый неприводимый многочлен, определяющий поле (у Вас $f(x)=x^3+1$, но он приводим - нужно другой брать).

[Koperfild]

Sonic86 в сообщении #527321 писал(а):

Перемножаете как обычно, коэффициенты берете по модулю $p$ (т.е. заменяете их на остаток от деления на $p$), и сам многочлен берете по модулю $f(x)$ - тот самый неприводимый многочлен, определяющий поле (у Вас $f(x)=x^3+1$, но он приводим - нужно другой брать).

Что значит взять многочлен по модулю другого многочлена. Какие есть способы получить неприводимый многочлен (в данном случае степени 3). Для чётных степеней можно перемножить $x^2 +1$нужное число раз. За формулы извиняюсь. Будет время научусь вставлять

-- 15.01.2012, 21:12 --

Всё разобрался. Тупил до этого т.к. не видел что -1 это 1 по модулю 2. Осталось понять как получить неприводимый многочлен нечётной степени

[Alpeev]

хе, весьма сложно, учитывая, что всего многочленов степени 3 над $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ - восемь =)

[Koperfild]

Подбором, деля на наши элементы поля? И их вроде как 4 а не 8 для нашего поля Z2

[Joker_vD]

C трудом представляю, как человеку поручили строить $GF(8)$, не рассказав про коммутативные кольца, их идеалы и процедуру факторизацию, не познакомив с кольцом многочленов $K[x]$...

$GF(8)\simeq \mathbb Z_2/(f(x))$, где $f(x)\in \mathbb Z_2[x]$ — неприводимый многочлен степени три.

(Оффтоп)

Блин, да почему $\cong$ вечно так корежит?

[bot]

(Оффтоп)

Если кого-то знакомят - это ещё не означает, что они знакомятся. Вот, к примеру, по ссылке ТС был $p(x)=x^3+x+1$ и табличка умножения была.