Задача по теории вероятности

[YaR]

Извиняюсь за плохое оформление, исправлюсь.
Да, посмотрел, с моими результатами точка не попадает в треугольник.
У меня 2 варианта (на интервале от 0 до b) :
1 )

$$F_1(x,y) = \int_{0}^{y} \int_{b-y}^{x} \frac{2}{b^2} dx dy = \frac{2xy}{b^2} - \frac {y}{b} + \frac{y^2}{b^2}$$

Если подставить опять же $b= 1 , x=y=0,5 $ , то ничего не сходится.

2)

$$F_1(x,y) = \int_{0}^{y} \int_{b-x}^{x} \frac{2}{b^2} dx dy = \frac{4xy}{b^2} - \frac {2y}{b} $$

Если взять для второго варианта $b=2, y=x=1$ то получается ноль

[PAV]

Забудьте для этого пункта про интегралы, наконец! Они здесь Вам только навредят. Решайте чисто из геометрических соображений, через площади областей. У Вас должно быть не менее пяти различных случаев, в каждом из которых $F(x,y)$ будет выражаться своей формулой. Для начала, например, укажите области значений, для которых $F(x,y)=0$. Затем постепенно рассматривайте другие области.

[YaR]

Я вижу тут только одну площадь - это треугольник который дан.В ней функция равна единице. Во всех остальных случаях функция равна нулю. Какие ещё случаи и как описать эти не могу понять. Приведите пожалуйста пример для двумерного случая.

[PAV]

Функция распределения $F(x,y)$ - это вероятность попадания точки в некоторую область. В какую именно? Опишите ее.

[YaR]

Для данного случая этой областью является тругольник АВС. Координаты находятся в следующих интервалах:
$b\ge x \ge 0$
$b\ge y \ge 0$
Функция: $1\ge F(x,y) \ge 0$

[PAV]

Ничего не понял. Неудачно обозначать аргументы теми же буквами. Еще раз. Ищем $F(A,B)$. По определению функции распределения это есть вероятность попадания случайной точки $(x,y)$ в некоторую область. Опишите ее. Подсказка: в этом описании будут фигурировать величины $A$ и $B$ и не будет фигурировать $b$. Величина $b$ появится позднее, когда будете эту вероятность уже считать.

Ну или возьмите $b=1$ и подсчитайте $F(0.5,2)$

[YaR]

$F(A,B) = P(X<A, Y<B)$

[PAV]

$F(A,B)=P(x<A,y<B)$

Хорошо, теперь подсчитайте тот численный пример, который я предложил. Еще раз - интегралы не нужны, считайте вероятности только через площади областей.

[YaR]

Тоесть вместо букв А и В ставим числа:
$F(0.5,2) = P(x<0.5,y<2)$
Что там за области то кроме данного треугольника? От минус бесконечности до треугольника по обеим координатам?

[PAV]

Что из себя представляет область на плоскости, задаваемая условием $\{x<0.5,y<2\}$? Забудьте про треугольник пока.

[YaR]

Это прямоугольник у которого левая и нижняя стороны уходят на бесконечность

[PAV]

Правильно. Вам нужно найти вероятность попадания точки в такой прямоугольник. А теперь вернитесь к моему самому первому сообщению в этой теме, в котором я написал метод вычисления вероятности попадания в любую область. Возьмите его и дословно примените к данному случаю.

[YaR]

Так, площадь пересечения равна: $0.5^2/2 = 0,125$
Общая площадь прямоугольника: $1^2/2 = 0,5 $
Вероятность равна: $0.125/0.5 = 0,25$

[PAV]

Вроде похоже. А теперь посмотрите, как будет меняться ситуация, если менять точку - угол этого прямоугольника. В некоторых положениях пересечение будет пустым - там ноль. В некоторых - прямоугольник будет полностью накрывать треугольник - там единица. Ну и будет несколько случаев промежуточных, как этот. Их надо описать и подсчитать аккуратно.

[YaR]

$$F(x,y) = $$

$$0, x<0, -\infty <y<+\infty$$

$$0, y<0, -\infty <x<+\infty$$

$$1, x \ge b, y \ge b$$

$$1, b\ge x \ge 0, b\ge y \ge 0,$$

Как описать остальное вызывает затруднение...

-- 14.01.2012, 23:26 --

Будут ещё случаи:

$$b \ge x \ge 0 , b \ge y \ge 0 $$