Задача по теории вероятности

[--mS--]

YaR в сообщении #526603 писал(а):

Не понимаю, в чём ошибка в формуле нормировки: $\int\int f(x,y) dx dy = 1 $ ?

Если интеграл подразумевается определённый, по всей плоскости, то ни в чём ошибок нет. Неопределённых интегралов в теории вероятностей не бывает. А что Вас не устраивает в этом равенстве? Это интеграл от $C$ по треугольнику. Он равен объёму призмы, основание которой - треугольник, а высота которой равна $C$. Этот объём, как Вы и писали, равен произведению "толщины" на площадь основания $C\cdot b^2/2$, где $b^2/2$ - площадь треугольника.

Откуда, совершенно верно, плотность $2/b^2$ - при каких-то $(x,y)$. При каких? А при остальных?

[YaR]

Да, я так и написал в ответе на первоё сообщение PAV, ответ получался такой же, но всё мое решение было сведено на нет!
Тоесть, теперь, чтобы найти функцию распределения мне нужно взять интеграл от плотности и правильно расставить пределы интегрирования?

-- 14.01.2012, 12:48 --

"...при каких-то (x,y)" - тоесть, если точка попадает в пределы заданного треугольника, то плотность $2/b^2$,
а в остальный точках она равна нулю, получается так

[YaR]

Плотности отдельно по Х и У у меня получились одинаковыми, равными 1/b. Я взял интегралы: $\int dx$ (от 0 до b), $ \int dy $ (от 0 до b)

[PAV]

Это неверно. Очевидно же из картинки, что для любой из координат вероятность попасть в отрезок $[0,\frac b2]$ больше, чем в $[\frac b2,b]$, так что равномерным распределение координат быть никак не может. Вы картинку, кстати, нарисовали, сверяете с ней свои рассуждения?

[YaR]

Я сразу нарисовал картинку.
Как тогда пределы интегрирования расставить? От наклонной линии до b в обоих случаях?

[PAV]

А что Вы хотите интегрировать и зачем? Формулы напишите, на основании которых Вы решаете этот пункт.

(Кстати, интеграл с пределами набирается например так: $\int_0^b dx$)

[YaR]

Чтобы найти плотность х я беру интеграл от константы :
$\int _0^b НC dx$
$ C \int_0^b dx$
$Cb = 1 $
$C = 1/b$

[PAV]

И в какой точке Вы так хотите получить значение этой самой плотности?

(Вы же помните, конечно, что плотность - это функция от некоторого аргумента, которая при разных значениях этого аргумента может принимать разные значения. В Вашем же выражении я зависимости от аргумента вообще не вижу).

Лучше всего если Вы все-таки приведете здесь общую формулу как искать плотность отдельных компонент по известной плотности совместного распределения.

[YaR]

Для х такая формула будет:
$p(x) = \int p(x,y) dy $
(С бесконечными пределами. В гайде по формулам не нашёл как ставить значки бесконечности)
?

[YaR]

Отзовитесь кто-нибуть пожалуйста!Завтра к вечеру уже нужно сдать задачу

[PAV]

Да, формула такая. Напоминаю, чему равна совместная плотность $p(x,y)$: константа внутри данного в условии треугольника и ноль вне его. (Вы часто опускаете вторую часть этой фразы, а напрасно, она по-прежнему весьма существенна).

Теперь посмотрите, что при этом будет получаться для различных значений икса. Плотность не будет постоянной, она от аргумента будет существенно зависеть.

(Нужно быстрее решать - быстрее думайте и делайте больше самостоятельных шагов. А то Вы сделаете полшага и ждете часами, пока Вам кто-нибудь не скажет, правильно или нет. Так можно неделю на простейшую задачу потратить. Если формула взята из учебника, значит, она правильная - можно было не ждать, а самостоятельно ее использовать, подставляя в нее Ваши значения).

-- Сб янв 14, 2012 17:38:16 --

$$p_1(x)=\int_{-\infty}^\infty p(x,y)dy$$

Это я к тому, как формулы набирать. Наведите мышку на формулу и увидите, как она набрана. Я ввел индекс $p_1$ чтобы обозначить плотность по переменной $x$. Плотность по $y$ можно будет обозначить буквой $p_2$. Записывать все нужно максимально аккуратно, по-хорошему этому тоже должны были научить в курсе того же математического анализа.

[YaR]

Я уже решил несколькими способами, хочу узнать правильный, сомневаюсь на счёт пределов интегрирования.
Я думаю плотности нужно находить так:
$p_1(x) = \int _b_-_y ^b 2/b^2 dy = 2y/b^2$
$p_2(y) = \int _b_-_x ^b 2/b^2 dx = 2x/b^2$
Я веть правильно понимаю, что плотность по х будет зависеть от y, а плотность по у от x ?
Фунции распределения будут такими:
$F_1(x,y) = \int_0^y \int_0^x (2/b^2) dx dy = 2xy/b^2$
$F_2(x) = \int_0^x \int_0^b (2/b^2) dx dy = 2x/b$
$F_3(y) = \int_0^y \int_0^b (2/b^2) dx dy = 2y/b$

[PAV]

Близко к истине, но не совсем. Плотность $p_1$ должна зависеть от $x$, поэтому в правой части должно присутствовать $x$, которое так и останется. А после интегрирования по $y$ никакого $y$ остаться не должно. Аккуратнее посмотрите на пределы интегрирования.

-- Сб янв 14, 2012 18:10:29 --

Возьмите для простоты конкретные числа и посчитайте для них. Например, $b=1$, и найдите $p_1(0.25)$. Тогда станет яснее, что будет в общем случае.

[YaR]

Значит с плотностями так:
$p_1(x) = \int _b_-_x ^b 2/b^2 dy = 2x/b^2$
$p_2(y) = \int _b_-_y ^b 2/b^2 dx = 2y/b^2$
Фунции распределения будут такими:
$F_1(x,y) = \int_0^y \int_0^x (2/b^2) dx dy = 2xy/b^2$
$F_2(x) = \int_0^x \int_0^b (2/b^2) dx dy = 2x/b$
$F_3(y) = \int_0^y \int_0^b (2/b^2) dx dy = 2y/b$

[PAV]

Плотности найдены почти правильно, хотя запись формул ужасна. Во-первых, для больших формул лучше ставить двойные доллары, а пределы интегрирования писать так:

$$ p_1(x)=\int_{b-x}^{b}\frac{2}{b^2}dy=\frac{2x}{b^2} $$

Почему "почти правильно"? Потому что эти значения только в интервалах $0\le x\le b$ и $0\le y\le b$. А во всех других точках - ноль. Даже если это и очевидно, но это должно быть написано, иначе задачу могут не зачесть - и правильно сделают.

-- Сб янв 14, 2012 18:20:45 --

Функция распределения найдена неверно. Например, для $b=1$ и $x=y=0.5$ совместная функция распределения будет равна нулю, а вовсе не тому, что у Вас написано. Посмотрите графически - это будет очевидно.

Функция распределения в данном случае будет иметь достаточно сложный вид. Точнее, она будет состоять из нескольких случаев, в зависимости от того, в какую область попадает аргумент $(x,y)$. Геометрически проще всего смотреть, тут даже интегралов писать особо не нужно.