Электродинамика Гельмгольца

[Developer]

gu_an! ...не бузите, не бузите...
Телевизионный сигнал на любом диапазоне, метровом ли (48..102 и 174..232 МГц), дециметровом ли (21..60 каналы) имеет частотную модуляцию как по несущей изображения, так и по несущей звукового сопровождения, а несущие отличаются между собой ровно на 6,5 МГц (кстати, указанная Вами частота 6,5 МГц - это как раз промежуточная частота звукового сопровождения, а 30..38 МГц - промежуточная частота телевизионного видеосигнала) ...

Пожалуй, Вы меня убедили, Bod!
Давайте сопоставим частоту несущей и частоту модуляции:
- на радиочастотах вещательных каналов УКВ и FM - это десятки мегагерц несущей и десяток килогерц звуковой частоты, разница в тысячу раз;
- на радиочастотах вещательных канлов АМ - это сотни килогерц несущей и десяток килогерц звуковой частоты, разница в десять раз.

Конечно, в диапазоне АМ радиовещания отношение ширины полосы радиосигнала к несущей частоте излучения больше, чем на оптических каналах связи, поэтому на последних и возможно осуществлять многоканальную телефонную, радио и телевизионную связь на одной несущей частоте, поскольку её значение достаточно велико...

[gu_an]

Developer, не знаете- лучше не пишите.

[Developer]

Отчего, ж. Знаю, потому и пишу...

[Someone]

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

А достаточно ли это условие? Пусть, например, $\varphi=-z$. Тогда $\vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi=\vec k$. Очевидно, $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec E\equiv 0$. И что? Ведь $\vec E\neq\vec 0$. Опять у Вас какого-то условия не хватает. К тому же, $\vec E=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits x\vec\jmath$, так что это поле не только градиентное, но заодно и вихревое.

Имеем поле Лапласа.
...
В случае векторного поля, являющегося полем Лапласа, распределенного в бесконечном пространстве, согласно следствию теоремы Гельмгольца, такое поле тождественно равно нулю.
См. теорема единственности векторного анализа, следствие.
Таким образом, единственность определения векторного поля полностью обеспечена.

Вот и продемонстрируйте это на моём примере. А то у меня вроде бы "поле Лапласа" (Вы имеете в виду потенциальное?) во всём пространстве, а нулю не равно. И, к тому же, у него есть и скалярный потенциал, и векторный. Какая уж тут единственность?

P.S. Вы, собственно говоря, на что ссылаетесь? Указывайте не сайт с кучей литературы, а конкретную книгу и в ней главу, параграф и т.д., чтобы можно было найти точно, что Вы имеете в виду.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

А достаточно ли это условие? Пусть, например, $\varphi=-z$. Тогда $\vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi=\vec k$. Очевидно, $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec E\equiv 0$. И что? Ведь $\vec E\neq\vec 0$. Опять у Вас какого-то условия не хватает. К тому же, $\vec E=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits x\vec\jmath$, так что это поле не только градиентное, но заодно и вихревое.

Имеем поле Лапласа.
...
В случае векторного поля, являющегося полем Лапласа, распределенного в бесконечном пространстве, согласно следствию теоремы Гельмгольца, такое поле тождественно равно нулю.
См. теорема единственности векторного анализа, следствие.
Таким образом, единственность определения векторного поля полностью обеспечена.

Вот и продемонстрируйте это на моём примере. А то у меня вроде бы "поле Лапласа" (Вы имеете в виду потенциальное?) во всём пространстве, а нулю не равно. И, к тому же, у него есть и скалярный потенциал, и векторный. Какая уж тут единственность?

Согласно следствию из теоремы единственности векторного анализа, векторное поле, являющееся решением уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, равно нулю тождественно.
Представленное Вами поле вообще не имеет физического смысла, т.к. не обращается в нуль на бесконечности и для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного.

Someone писал(а):

P.S. Вы, собственно говоря, на что ссылаетесь? Указывайте не сайт с кучей литературы, а конкретную книгу и в ней главу, параграф и т.д., чтобы можно было найти точно, что Вы имеете в виду.

На указанной Вам странице, есть, непосредственно, ссылка для скачивания "теорема единственности векторного анализа".
Не поленитесь и просмотрите страничку.

[Someone]

Зиновий писал(а):

Согласно следствию из теоремы единственности векторного анализа, векторное поле, являющееся решением уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, равно нулю тождественно.

Ага, появилось ещё одно условие.

Зиновий писал(а):

Представленное Вами поле вообще не имеет физического смысла, т.к. не обращается в нуль на бесконечности и для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного.

Если бы поле создавалось системой, ограниченной в пространстве, я бы с Вами согласился. Но Вселенную трудно рассматривать как систему, ограниченную в пространстве. Поэтому к ней это условие неприменимо. Вместе с существующими в ней полями.
Что касается "для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного", то Вы плохо посмотрели. Там в каждой точке оба потенциала ограничены (конечны) в каждой точке.

$\varphi=-z$
$\vec B=x\vec\jmath$
$\vec E=\vec k=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B$

Зиновий писал(а):

На указанной Вам странице, есть, непосредственно, ссылка для скачивания "теорема единственности векторного анализа".
Не поленитесь и просмотрите страничку.

Не поленился и посмотрел. Даже два раза - тогда и сейчас. На указанной странице нет ссылки "теорема единственности векторного анализа". Кроме того, на этой странице книги сделаны плохо, и многие имеют объём раз в пять больше, чем в других местах. Вы уж дайте точную ссылку на книгу, как это принято в научных работах, а я посмотрю, откуда мне её скачивать и скачивать ли вообще.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Согласно следствию из теоремы единственности векторного анализа, векторное поле, являющееся решением уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, равно нулю тождественно.

Ага, появилось ещё одно условие.

Надо было внимательней читать формулировку теоремы.
Мне что, так и открывать для Вас, в процессе общения, по "новой" букве алфавита, в каждом новом сообщении?

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Представленное Вами поле вообще не имеет физического смысла, т.к. не обращается в нуль на бесконечности и для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного.

Если бы поле создавалось системой, ограниченной в пространстве, я бы с Вами согласился. Но Вселенную трудно рассматривать как систему, ограниченную в пространстве. Поэтому к ней это условие неприменимо. Вместе с существующими в ней полями.
Что касается "для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного", то Вы плохо посмотрели. Там в каждой точке оба потенциала ограничены (конечны) в каждой точке.
$\varphi=-z$
$\vec B=x\vec\jmath$
$\vec E=\vec k=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B$

1. Т.е. Вы, как математик, утверждаете, что при устремлении $x$ и $z$ к плюс, минус бесконечности, указанные Вами функции принимают конечное значение?
2. Объясните, пожалуйста:
а. Что это за поля создаваемые "вселенной"?
б. Зачем нам надо их вычислять?
в. Как эта задача сочетается с "Основная задача теории поля"?

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

На указанной Вам странице, есть, непосредственно, ссылка для скачивания "теорема единственности векторного анализа".
Не поленитесь и просмотрите страничку.

Не поленился и посмотрел. Даже два раза - тогда и сейчас. На указанной странице нет ссылки "теорема единственности векторного анализа". Кроме того, на этой странице книги сделаны плохо, и многие имеют объём раз в пять больше, чем в других местах. Вы уж дайте точную ссылку на книгу, как это принято в научных работах, а я посмотрю, откуда мне её скачивать и скачивать ли вообще.

О какой "книге" Вы говорите?
Ссылка на скачивание теоремы, находится непосредственно на указанной Вам странице сайта.

[Someone]

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Согласно следствию из теоремы единственности векторного анализа, векторное поле, являющееся решением уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, равно нулю тождественно.

Ага, появилось ещё одно условие.

Надо было внимательней читать формулировку теоремы.

Да, виноват, забыл уже, что это условие было.

Зиновий писал(а):

О какой "книге" Вы говорите?
Ссылка на скачивание теоремы, находится непосредственно на указанной Вам странице сайта.

А я как раз книгу искал. Ну что же, давайте посмотрим, что там.

Цитата:

Теорема 1.13 (теорема Гельмгольца). Любое векторное поле $\vec F$, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и безвихревого векторных полей и представлено в виде $\vec F=-\mathop{\vec\nabla}\nolimits\Phi+\mathop{\vec\nabla}\nolimits\times\vec A$, причём, $\mathop{\vec\nabla}\nolimits\cdot\vec A=0$.

Во всяком случае, к моему полю это применимо. Оно однозначное, непрерывное и ограниченное во всём пространстве: $\vec E=\vec k$. И теорема, безусловно, верна. Я указал целых два представления в требуемом виде: $\vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi$ и $\vec E=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B$, где $\varphi=-z$ и $\vec B=x\vec\jmath$, причём, $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec B=0$. Что Вам здесь не нравится? А ограниченности потенциалов теорема и не обещает.

Цитата:

Следствие. Если функция $\Phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа $\mathop{\vec\nabla}\nolimits^2\Phi=0$, а на бесконечности ведет себя как $\frac 1{r^{1+\eta}}$ при $r\to\infty$ ($\eta>0$), то она тождественно равна нулю.

Где здесь Вы увидели "обращающееся в нуль на бесконечности"? Тут гораздо более сильное условие. Например, потенциал заряженного шара этому условию не удовлетворяет. Он обращается в ноль на бесконечности, убывая как $\frac 1r$, но не как $\frac 1{r^{1+\eta}}$. Боюсь, что Вам придётся поискать другую ссылку.

Зиновий писал(а):

Представленное Вами поле вообще не имеет физического смысла, т.к. не обращается в нуль на бесконечности и для него не существует, ограниченных в каждой точке поля, значений потенциалов, как скалярного, так и векторного.

Зиновий писал(а):

1. Т.е. Вы, как математик, утверждаете, что при устремлении $x$ и $z$ к плюс, минус бесконечности, указанные Вами функции принимают конечное значение?

Где я говорил про "устремление к плюс-минус бесконечности"? Вы говорили, что потенциалы не являются ограниченными в каждой точке. Это неверно: они однозначные, непрерывные и в каждой точке имеют вполне определённые конечные значения, почему и являются ограниченными в каждой точке. Если Вы путаете ограниченность в каждой точке с ограниченностью во всём пространстве, то я в этом не виноват. Не я Вас учил математике.

Зиновий писал(а):

2. Объясните, пожалуйста:
а. Что это за поля создаваемые "вселенной"?

Я говорил не о полях, "создаваемых Вселенной", а о полях, существующих во Вселенной. Не вижу, почему бы в бесконечной Вселенной все поля стремились к нулю при удалении от такого "центра Мира", каким является Земля.

Зиновий писал(а):

б. Зачем нам надо их вычислять?

Затем же, зачем и всё остальное: чтобы лучше разобраться в окружающем нас Мире.

Зиновий писал(а):

в. Как эта задача сочетается с "Основная задача теории поля"?

Этот вопрос меня интересует меньше всего.

Но как быть с вопросами, от ответов на которые Вы увиливаете, прикрываясь векторным анализом?

Someone писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51047#51047 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51129#51129
1) В цитате, приведённой Варягом, сказано:

Цитата:

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50705#50705
В теории Гельмгольца, так же как и у Максвелла, рассматривается ток смещения. Только он определяется не величиной $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, а величиной $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, где $\vec P$ — вектор поляризации среды. Из теории Гельмгольца следует существование электрических и магнитных волн, только их скорость не равна скорости света. Кроме того, в среде существуют и продольные электрические волны

В уравнении Максвелла присутствует член $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, причём, $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$, где $\vec P$ - вектор поляризации среды, а в уравнении Гельмгольца, как утверждается в ссылке, предоставленной Варягом, - член $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$. В вакууме $\vec P=\vec 0$ (если хотите - тождественно, то есть, во всех точках). Поэтому в уравнении Максвелла остаётся $\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$, а в уравнении Гельмгольца - $\vec 0$.

В Вашей системе отсутствует $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, зато, как и у Максвелла, присутствует $\frac{\partial\vec E_T}{\partial t}$. Если в первой из Ваших систем положить $\vec J_T=\vec 0$, то получится система уравнений Максвелла в вакууме. Следовательно, в вакууме получаются точно такие же электромагнитные волны, как и у Максвелла, в то время как в цитате прямо сказано, что у Гельмгольца волны совсем другие: они не электромагнитные, а отдельно электрические и магнитные, да ещё и распространяются не со скоростью света.
Вывод: представленная Вами система уравнений не имеет отношения к теории Гельмгольца.

2) Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения электрического заряда, имеет вид $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$, где $\rho$ - плотность заряда, $\vec J$ - плотность тока. Это уравнение выводится из предположений, что заряд сохраняется, и что ток является движением зарядов.
В Вашей же системе написано $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$. Это не позволяет считать ток движением зарядов: Ваш "ток" не может изменять пространственное распределение зарядов, а движение зарядов (изменяющее распределение зарядов) не является током. И то, и другое явно противоречит твёрдо установленным фактам.

3) Кто "видел" продольные электрические волны в вакууме, существование которых следует из Вашей теории?
Кто "видел" два физически различных и никак не связанных между собой электрических поля, существующих в Вашей теории?

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Согласно следствию из теоремы единственности векторного анализа, векторное поле, являющееся решением уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, равно нулю тождественно.

Ага, появилось ещё одно условие.

Надо было внимательней читать формулировку теоремы.

Да, виноват, забыл уже, что это условие было.

Зиновий писал(а):

О какой "книге" Вы говорите?
Ссылка на скачивание теоремы, находится непосредственно на указанной Вам странице сайта.

А я как раз книгу искал. Ну что же, давайте посмотрим, что там.

Цитата:

Теорема 1.13 (теорема Гельмгольца). Любое векторное поле $\vec F$, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и безвихревого векторных полей и представлено в виде $\vec F=-\mathop{\vec\nabla}\nolimits\Phi+\mathop{\vec\nabla}\nolimits\times\vec A$, причём, $\mathop{\vec\nabla}\nolimits\cdot\vec A=0$.

Во всяком случае, к моему полю это применимо. Оно однозначное, непрерывное и ограниченное во всём пространстве: $\vec E=\vec k$. И теорема, безусловно, верна. Я указал целых два представления в требуемом виде: $\vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi$ и $\vec E=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B$, где $\varphi=-z$ и $\vec B=x\vec\jmath$, причём, $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec B=0$. Что Вам здесь не нравится? А ограниченности потенциалов теорема и не обещает.

Давайте договоримся.
Вы детально изучите весь вывод теоремы со всеми, вводимыми по ходу доказательства, ограничениями и, только после этого, мы приступим к обсуждению.
Невозможно обсуждать с Вами теорему, открывая в каждом сообщении не прочитанные Вами условия.
Тем боле, что, по ходу ознакомления с "новым" материалом, Вы забываете предыдущее.

[Someone]

Зиновий писал(а):

Вы детально изучите весь вывод теоремы со всеми, вводимыми по ходу доказательства, ограничениями и, только после этого, мы приступим к обсуждению.

Не вводится там никаких дополнительных условий. Там просто рассматриваются два частных случая, а из них выводятся следствие, которое я цитировал, и общий случай. Изложение не очень строгое, и некоторые моменты вызывают сомнения в достаточной обоснованности доказательства. Я бы поискал другое доказательство. Тем более, что в приведённой формулировке эта теорема не даёт того, что Вы от неё хотите. В ней не утверждается единственности представления, и нет ничего о случае, когда скалярный потенциал стремится к нулю на бесконечности (я об этом уже писал).

Вообще, если в ходе доказательства теоремы вводятся дополнительные условия, без которых теорема в заявленной формулировке не доказывается, то это не доказательство. Все используемые в доказательстве условия должны быть явно сформулированы в её условии. В данном случае это требование выполняется.

Зиновий писал(а):

Невозможно обсуждать с Вами теорему, открывая в каждом сообщении не прочитанные Вами условия.
Тем боле, что по ходу ознакомления, Вы забываете предыдущее.

Не хочу я обсуждать эту теорему, не интересно это. Кончайте свои отвлекающие манёвры и переходите к делу, то есть, к вразумительным ответам на вопросы.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Вы детально изучите весь вывод теоремы со всеми, вводимыми по ходу доказательства, ограничениями и, только после этого, мы приступим к обсуждению.

Не хочу я обсуждать эту теорему, не интересно это. Кончайте свои отвлекающие манёвры и переходите к делу, то есть, к вразумительным ответам на вопросы.

Как гласит древняя китайская мудрость -"Нельзя перепрыгнуть пропасть в два прыжка!".
До того, как Вы освоити основные положения классической теории поля, дискутировать с Вами на данную тему бессмысленно.
Воспользуйтесь представленным Вам доказательством, а также, справочником па математике Г. и Т. Корнов, находящимся по той же ссылке, раздел "Теория поля", и моей работой "Несостоятельность теории электромагнетизма и выход из сложившегося тупика", раздел "Основные понятия классической теории поля".
Когда Вы поймете значение основной задачи классической теории поля и Вас не будут отвлекать вопросы "вычисления полей произвольных источников поля вселенной", можно будет продолжить с Вами конструктивную дискуссию по работе с уравнениями электродинамики.
"Истина конкретна!"
Желаю Вам всяческих успехов.

[Someone]

Зиновий писал(а):

До того, как Вы освоити основные положения классической теории поля, дискутировать с Вами на данную тему бессмысленно.

Всё ясно. Зиновий капитулировал, а для сохранения лица хотя бы в собственных глазах прикрылся векторным анализом.

Три вопроса, требующих ответа: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=52345#52345.

[Bod]

Зиновий, вас устроил ответ по поводу возможности совпадения максимума потенциальной и кинетической энергии? А то вы по чему то проигнорировали его.

[Fractal]

Мне вот по поводу этих максимумов энергий не совсем понятно: после того, как груз математического маятника оказался в крайней, верхней точке (максимум потенциальной Е), стало быть кинетическая - нуль? А если маятнику придать еще и вращательное движение (получается юла), что происходит с потенциальной и кинетической Е?

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

До того, как Вы освоити основные положения классической теории поля, дискутировать с Вами на данную тему бессмысленно.

Всё ясно. Зиновий капитулировал, а для сохранения лица хотя бы в собственных глазах прикрылся векторным анализом.

Три вопроса, требующих ответа: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=52345#52345.

Каждый понимает по своему.
Моя точка зрения по данному вопросу состоит в следующем.
Отказ преподавателя мат. топологии Новомосковского университета детально рассмотреть теорему единственности векторного анализа и ее следствий, применительно к исследованию возможных решений задач теории поля, говорит о полной профессиональной непригодности данного препода, и бессмысленности траты времени на его переучивание.
Далее, слово за Вашими студентами...

Добавлено спустя 12 минут:

Bod писал(а):

Зиновий, вас устроил ответ по поводу возможности совпадения максимума потенциальной и кинетической энергии? А то вы по чему то проигнорировали его.

Я уже однажды ставил Вас перед неустранимым противоречием Вашего утверждения.
Ответа на него я от Вас так и не получил.
Повторю.
Максимум всякой функции соответствует нулевой производной от этой функции в точке максимума.
Т.е. скорость изменения этой функции в точке максимума равна нулю.
Но скорость изменения функции в точке максимума функции определяет кинетическую энергию элемента среды, положение которого описывается этой функцией.
А, следовательно, кинетическая энергия элемента среды, в точке максимума потенциальной энергии, равна нулю и максимум кинетической энергии принципиально не может совпадать с максимумом потенциальной энергии.
До получения от Вас разрешения этого парадокса Вашего утверждения, я не вижу темы для обсуждения.