Очевидно, что нельзя

[RIP]

Можно ли квадрат $(0;1)\times(0;1)$ представить в виде объединения замкнутых кругов положительных радиусов с попарно непересекающимися внутренностями?

[незваный гость]

Количество кругов, очевидно, счетно (каждый из них содержит рациональную точку).

Пусть $C_k = (0,1) \times (0,1) \setminus \bigcup\limits_{j \leq k} D_j$.

Рассмотрим семейство $\{R_k\}$ вложенных прямоугольников, $R_k \subset C_k$. Добавим требование, чтобы не существовало круга, полностью покрывающего $R_k$ и не пересекающегося с $\bigcup\limits_{j \leq k} D_j$. Тогда пересечение этих прямоугольников $\bigcap\limits_k R_k$ даст пример точки, не попадающей ни в один круг.

Для доказательства существования прямоугольника $R_k$ выбрать один из кругов границы $\partial C_k$, взять касательную к нему, и выбрать квадрат со стороной параллельной касательной на расстоянии меньшем 1/6 длины диагонали от нее (так, что середина стороны лежит на прямой, соединяющей центр пересечения диагоналей и центр круга).