Количество кругов, очевидно, счетно (каждый из них содержит рациональную точку).
Пусть

.
Рассмотрим семейство

вложенных прямоугольников,

. Добавим требование, чтобы не существовало круга, полностью покрывающего

и не пересекающегося с

. Тогда пересечение этих прямоугольников

даст пример точки, не попадающей ни в один круг.
Для доказательства существования прямоугольника

выбрать один из кругов границы

, взять касательную к нему, и выбрать квадрат со стороной параллельной касательной на расстоянии меньшем 1/6 длины диагонали от нее (так, что середина стороны лежит на прямой, соединяющей центр пересечения диагоналей и центр круга).