2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача №4 Shortlist-a ММО 2004(Теория чисел)
Сообщение08.02.2007, 19:13 


28/12/05
160
Пусть $k$- фиксированное целое число большее 1 и $m=4k^2-5$.
Показать, что существуют натуральные $a$ и $b$ для которых каждый член последовательности
$x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=0,1,2,\ldots $взаимно просто с $m.$

PS: Приведу английской версии этой задачи. Если есть ошибки в переводе скажите. :)
Let $k$ be a fixed integer greater than 1, and let $m=4k^2-5.$
Show that there exist positive integers $a$ and $b$ such that the sequence $(x_n)$
defined by
$x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}$, for $n=0,1,2,\ldots $
has all of its terms relatively prime to $m.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
В английской версии ни слова не сказано о бесконечности $a,b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это мелочи. Найдётся одна пара - найдётся и сколько угодно, бо нам интересны не сами по себе эти числа, а по модулю m.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 20:13 


28/12/05
160
RIP писал(а):
В английской версии ни слова не сказано о бесконечности

Ах да конечно! :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 20:20 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это действительно мелочь. Для решения надо перейти к целым числам кольца
$Z[q], q=\frac{1+\sqrt 5}{2},x_n=\frac a2 (q^n+r^n)+\frac{2b-a}{2\sqrt 5}(q^n-r^n)=cq^n+dr^n, \ r=1-q.$
Тогда m раскладывается на взаимно простые множители $m=(2k+\sqrt 5 )(2k-\sqrt 5 )$. Если брать a и b так, чтобы c делился на первый множитель, но не делился на второй, а d делился на второй и не делился на первый, то это свойство сохранится при любом n, т.е. все члены будут взаимно простыми с m.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group