2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача №4 Shortlist-a ММО 2004(Теория чисел)
Сообщение08.02.2007, 19:13 


28/12/05
160
Пусть $k$- фиксированное целое число большее 1 и $m=4k^2-5$.
Показать, что существуют натуральные $a$ и $b$ для которых каждый член последовательности
$x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=0,1,2,\ldots $взаимно просто с $m.$

PS: Приведу английской версии этой задачи. Если есть ошибки в переводе скажите. :)
Let $k$ be a fixed integer greater than 1, and let $m=4k^2-5.$
Show that there exist positive integers $a$ and $b$ such that the sequence $(x_n)$
defined by
$x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}$, for $n=0,1,2,\ldots $
has all of its terms relatively prime to $m.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
В английской версии ни слова не сказано о бесконечности $a,b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Это мелочи. Найдётся одна пара - найдётся и сколько угодно, бо нам интересны не сами по себе эти числа, а по модулю m.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 20:13 


28/12/05
160
RIP писал(а):
В английской версии ни слова не сказано о бесконечности

Ах да конечно! :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 20:20 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это действительно мелочь. Для решения надо перейти к целым числам кольца
$Z[q], q=\frac{1+\sqrt 5}{2},x_n=\frac a2 (q^n+r^n)+\frac{2b-a}{2\sqrt 5}(q^n-r^n)=cq^n+dr^n, \ r=1-q.$
Тогда m раскладывается на взаимно простые множители $m=(2k+\sqrt 5 )(2k-\sqrt 5 )$. Если брать a и b так, чтобы c делился на первый множитель, но не делился на второй, а d делился на второй и не делился на первый, то это свойство сохранится при любом n, т.е. все члены будут взаимно простыми с m.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: scwec


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group