Доказать (точки на осях с простыми координатами, на сфере..)

[Keter]

blondinka.ua в сообщении #525489 писал(а):

.

Keter в сообщении #525464 писал(а):

А как взять три точки так, чтобы эта окружность не принадлежала сфере, чтобы только они.

Никак.

Это ещё нужно доказать.

[Keter]

blondinka.ua в сообщении #525489 писал(а):

.

Keter в сообщении #525464 писал(а):

А как взять три точки так, чтобы эта окружность не принадлежала сфере, чтобы только они.

Никак.

Это ещё нужно доказать.

[arseniiv]

Keter! Так вам тут уже говорили. Вроде бы. Ну я повторю конструктивно.

Берёте простое число $p$.
Берёте окружность из плоскости $x = p$.
Берёте одну из бесчисленных сфер, проходящих через эту окружность.

Только я списал со счетов ваше требование о непринадлежности окружности сфере. Иначе решений совсем не будет. См. выше от многих человек ещё раз.

И никакой однопроцентной дивергенции!

[Keter]

(Оффтоп)

Сорри за многочисленность одинаковых постов иннэт глукнул

-- 10.01.2012, 23:59 --

Цитата:

Только я списал со счетов ваше требование о непринадлежности окружности сфере. Иначе решений совсем не будет. См. выше от многих человек ещё раз.

Вот а почему решений не будет?! они есть.

[arseniiv]

Keter в сообщении #525497 писал(а):

Это ещё нужно доказать.

Повторю в водяной версии слова svv:

Через любые три точки проходит, как минимум, одна плоскость. Слндовательно, через любые три точки сферы проходит, как минимум, одна плоскость.
Плоскость пересекается со сферой по (вохможно, вырожденной в точку) окружности. Следовательно, плоскость, образованная тремя точками сферы, пересекается с ней по окружности.
Если две поверхности пересекаются по кривой, то все точки этой кривой лежат на обоих поверхностях. Следовательно, все точки окружности лежат как на сфере, так и на плоскости.

Я тут даже немного переборщил вроде, натавтологил.

Посему решений для окружности, не лежащей на сфере, нет.

-- Ср янв 11, 2012 04:00:55 --

Окружность необходимо лежит на сфере. Потому, если она не лежит, то мы рассматриваем уже что угодно, но не решение.

[svv]

Keter
1. Вы рисуете на сфере $S$ три любые точки $A_1, A_2, A_3$.
2. Через три точки (не лежащие на одной прямой, это выполнено) можно провести плоскость, и только одну. Проводим через $A_1, A_2, A_3$ плоскость $P$.
3. Плоскость $P$ пересекается со сферой $S$ по окружности $C$ (т.к. плоскость всегда пересекается со сферой либо в одной точке, либо по окружности).
4. Окружность $C$ принадлежит сфере $S$ полностью.
5. Через три точки (не лежащие на одной прямой, это выполнено) можно провести только одну окружность.
6. Вывод: никакой другой окружности, кроме $C$, вы одновременно через $A_1, A_2, A_3$ не проведете. Но эта единственная вся лежит на сфере $S$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, это точнее моей тарабарщины без обозначений.

[Keter]

А где взять доказательство того, что плоскость пресекает сферу только по окружности?

[arseniiv]

Можно решить систему из уравнений плоскости и сферы. Можно поискать доказательство геометрическое; не знаю, в каких оно учебниках есть.

[Keter]

Всё выше сказанное понятно. Заклинило меня что-то.

Какие-нибудь хорошие учебники по стереометрии знаете?

[svv]

Keter писал(а):

А где взять доказательство того, что плоскость пресекает сферу только по окружности?

О, так это же деловой разговор!
Проведем из центра $O$ сферы перпендикуляр к плоскости. Он проткнёт плоскость в некоторой точке $M$. Пусть $|OM|=h$.
Возьмем на пересечении сферы и плоскости точку $A$. Перпендикуляр $OM$ к плоскости перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости, в том числе $ MA$. Поэтому по теореме Пифагора
$|OM|^2+|MA|^2=|OA|^2$
Но так как $A$ лежит на сфере, $|OA|=r$ -- радиусу сферы. Тогда
$|MA|=\sqrt{r^2-h^2}=\operatorname{const}$

Получается, что любая точка пересечения сферы и плоскости
1) лежит на плоскости, и
2) её расстояние от точки плоскости $M$ задано.
Каково геометрическое место таких точек?

[Keter]

Выходит, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость пересекает сферу по окружности, а если больше, то плоскость не пересекает сферу. Когда равно, то плоскость - косательная. Спасибо.

[arseniiv]

Keter в сообщении #525510 писал(а):

а если больше, то плоскость является касательной

Перепрыгнули лихо. Если равно. Если больше, то плоскость и сфера поссорились и не контактируют.

[svv]

arseniiv в сообщении #525511 писал(а):

Если больше, то плоскость и сфера поссорились и не контактируют.

Именно! Наглядный образ -- мячик над поверхностью воды. Это случай $h>r$.

[Keter]

Цитата:

Перепрыгнули лихо

Видно надо отдохнуть - уже глючит конкретно