Можно попытаться решить задачу, сформулированную здесь совместными усилиями нескольких авторов. Я так поняла, единственная представляющая интерес из здесь упоминавшихся, звучит примерно так: "Доказать, что найдется сфера, которой принадлежит бесконечное множество рациональных точек, одна из координат которых является простым числом."
Уравнение сферы возьмем, например, такое:

, где

и

- любые рациональные числа. Теперь в качестве

выбираем любое простое число

и определяем радиус сферы из уравнения

. Тогда для нахождения рациональных

и

получаем уравнение

. Решая его с помощью подстановки

, где

- тоже рациональное число, получим бесконечно много рациональных значений абсциссы и ординаты

,

при всех возможных рациональных

при выбранном простом значении аппликаты.