С чего начать изучение математики?

[Munin]

(Оффтоп)

Перед sin и cos ставите обратную наклонную черту \, а после них - пробел (если не идёт цифра). Корень пишется \sqrt[n]{...} или \sqrt{...}, если не нужно указывать степень. Этот язык - не для вычисления математических выражений, а только для их изображения на бумаге или экране, поэтому не обязательно указывать такие детали, как корень второй степени.

[ИСН]

SokolovArt, у Вас, похоже, хорошее математическое чутьё, но... как возможен такой вопрос (subj)? Это как если бы на форуме появилось сообщение "Купил торт, с какого края начинать его есть - не знаю; помогите!" Тупо читайте любую тему вот прямо в этом разделе. В каждой теме - какая-то задача. Либо Вы её можете решить, либо нет. Если нет, то идёте читать литературу по теме...

[PAV]

SokolovArt
примерно ясно. По поводу моей задачи: там не надо разбивать в сумму, надо заметить, что это типичная для данных задач ситуация, т.н. "неопределенность типа $\frac\infty\infty$, и применить один стандартный прием: разделить числитель и знаменатель на $n^2$ и затем механически применить несколько базовых свойств пределов. Но это так, к слову.

Вот несколько типичных советов для Вашей ситуации. Первое: не зацикливайтесь на том, чтобы найти "правильную" книгу. Успех на текущем этапе на 90% зависит не столько от того, что именно Вы будете читать, сколько от того, как Вы будете это делать (и будете ли вообще). Базовые сведения, с которых Вы начнете, нормально изложены практически везде. Просто найдите несколько стандартных учебников по математическому анализу и начинайте. Неплохо будет взять один-два простых, рассчитанных на нематематические факультеты (анализ проходят везде), и один-два сложных, написанных для математиков. Можно взять Фихтенгольца. Прочитав тему в простом учебнике, попробуйте затем прочитать ее же в сложном. Или наоборот: если что-то непонятно в сложном, посмотрите этот же вопрос в простом.

Главное же заключается в том, чтобы не зацикливаться на глобальной задаче "через год-два знать математику". Если Вы будете мыслить такими категориями, то скорее всего вообще не сможете толком ничего начать, и через этот самый год будете находиться примерно там же, где сейчас. Ставьте конкретные цели на одну-две недели. ИСН дал хороший совет: можете попробовать исходить из задач, лежащих в разделе "Анализ-I" этого форума. Берете задачу, которую не можете решить или не понимаете условия. Записываете ее на листочек и откладываете на неделю. Изучаете соответствующий раздел, решаете задачи на эту тематику. Когда считаете, что готовы, достаете листочек и пробуете заново прочесть и решить задачу. Если удалось - это конкретный индикатор успеха, то есть неделя прошла не зря, Вы действительно узнали что-то новое, чего не знали раньше.

Для начала можете попробовать разобраться с теми же пределами. Почитайте о них все, до чего дотянетесь, хоть с Википедии начните. И в конце этой недели, 15 января, сами себе дайте отчет: что конкретно Вы сумели сделать и узнать за эти прошедшие дни?

Имейте в виду, что есть одна ловушка, в которую Вы можете легко попасть. Это ложное понимание, когда Вы читаете текст, и Вам кажется, что все так просто и понятно, и хочется это побыстрее проскочить и перейти к чему-то более сложному. Однако очень часто это иллюзия понимания. Я такое часто наблюдал у студентов. Она развеивается на экзамене, когда студент получает несложный вопрос на тему, которая ему казалась простой и очевидной, и оказывается, что толком сказать ему нечего. Чтобы этого не случилось, во-первых, читайте учебник внимательно, и особенно обращайте внимание на ситуации, когда автор долго и занудно что-то расписывает, а Вам это кажется совершенно излишним, тривиальным, очевидным и не требующим таких подробных объяснений. Это почти наверняка говорит о ложном понимании. Ну и задачи обязательно решайте. Можете завести листочек и ставить на нем плюсики на каждую решенную задачу. Только очень важно, что решать Вы ее должны полностью самостоятельно, не подглядывая ни в ответ, ни в указание, ни в решение. Вы же это делаете для себя, а не "для дяди". Если Вы подглянули - задачу эту себе в актив не записывайте. Не думайте, что если Вы прочтете решение и поймете его, то это равноценная замена собственному решению. Это очень опасное заблуждение, также ведущее к ложному пониманию. Есть задачи, которые каждый должен решить сам, пусть и не сразу у него это получится. Если Вы будете подглядывать в решение, то это реально нанесет Вашему самообучению весьма существенный вред. Вы уже будете знать решение, а уметь дойти до него самостоятельно не научитесь. И когда типичные задачи закончатся, то учиться этому Вам будет уже не на чем.

[JMH]

Не могу не заметить, что большинство (если не все) советующих предлагают традиционный подход: школьный курс - анализ и алгебра, с которым я не согласен. Разумеется, моё несогласие - дело личное, тем не менее, рискну добавить свои два цента в дискуссию.

Основаниями любого раздела математики являются математическая логика и теория множеств, поэтому время, потраченное на их изучение окупится сторицей в дальнейшем. Даже если Вы не станете заниматься математикой, Вы приобретёте дисциплину рассуждений, которую невозможно приобрести, по моему мнению, никаким другим способом. А кроме того, математическая логика и теория множеств крайне интересны сами по себе, по моему, теория множеств в принципе самый интересный раздел математики. Но это, разумеется, дело вкуса.

[arseniiv]

Хороший способ! (Наверно.) Вводится много общих определений, которые упрощают жизнь. (У меня до сих пор бррр от определений функции как правила; некоторые же так любят. В принципе, есть такое, но легко таким определением ненастроенного читателя запутать.) Только, наверно, не стоит сразу окунаться в дебри и теории множеств, и логики: сначала основы, потом что-нибудь разнообразное, а потом уже с середины и дальше… Но мне почему-то кажется, что если школьный курс недопройден, будет несколько трудно в некоторых местах (уже после оснований, конечно, а не в них). С другой стороны, нескомпенсированный основаниями, школьный курс, как мне кажется, может навредить. В общем, и то, и то надо. Или надо придумать учебник, где половина школьного курса, а дальше всё по полочкам, почему да как и чем это является.

[PAV]

Настоятельно не рекомендую идти по такому пути. Зерна любого знания должны падать в подготовленную почву, иначе это будет пустая трата времени и ресурсов. Пока что такой почвы нет. К тому же, градус абстракции надо повышать постепенно, а попытка изучать математическую логику и основания без изучения анализа и алгебраических конструкций - это сразу скачок через ступени. Эти "игры со значками" будут скучными и совершенно непонятными, для чего они вообще нужны и как применяются. Не зря в учебном плане мехмата (куда имеет смысл заглянуть в любом случае) основы мат. логики проходят хотя и на первом же курсе, однако во втором семестре, когда основы анализа и алгебры уже пройдены.

Так что я рекомендую не нарушать этот порядок и идти классическим путем, начиная с базовых курсов анализа, алгебры, и можно туда же аналитическую геометрию добавить (хотя для нее все-таки лучше сперва из линейной алгебры что-то изучить). Можно чередовать анализ и алгебру. Из последней можно освоить матрицы, операции над ними, определители. Основы линейных векторных пространств, базисы, размерности. Полезно будет из общей алгебры познакомиться с понятиями группы и другими объектами общей алгебры, чтобы иметь представление об абстрактных сущностях, которыми оперирует высшая математика. В общем, таким же образом, как и с анализом: взять несколько учебников и пытаться читать и решать задачи.

[loldop]

SokolovArt
Хорошо.
Задача с параметрами.
Дано:
$|a|=1$
$b \in (-\infty, +\infty)$
$c \in [-1,1]$
Найти:
Количество корней уравнения
$ax^2+(b-c)x+c - \tg x = 0$

[SokolovArt]

loldop
Вообще, если так посмотреть, то можно перенести $\tg x$ в правую часть уравнения, поделить обе части на $\tg x$ и перенести единицу налево. В принципе, как я думаю, получится эквивалентное квадратное уравнение. Получился дискриминант $b^2 - 2bc + c^2 - 4c +4$.По сути своей $4c$ может быть не больше 4 или не меньше -4. Если $c<0$, то выражение будет больше нуля (так как квадрат больше нуля).Если $c>0$, то в любом случае $-4c+4$ не меньше нуля, а квадрат опять же положителен.И лишь только при $b=1, c=1$ дискриминант равен нулю.Но тогда у нас получается неполное квадратное уравнение (т.к. коэффициент при х равен нулю) вида $ax^2 + c$, имеющее два корня.Т.е. в любом случае получается два корня (либо комплексные, либо действительные).

-- 11.01.2012, 16:20 --

loldop
Кстати, как я понял, та задача по тригонометрии решена правильно?
PAV
ИСН
Спасибо!

-- 11.01.2012, 16:33 --

loldop
Извиняюсь, но в предыдущем сообщении написал неправильное решение(задача с параметрами).
На самом деле немного смутил тангенс (не знаю, что с ним делать).
Хотя всё равно вроде бы два корня.

[SokolovArt]

loldop
Не могли бы вы подкинуть мне что-нибудь по тригонометрии или на пределы, а то я с параметрами как-то не очень.

[VAL]

Просмотрел тему по диагонали. Возможно, что-то упустил.
Но, вроде бы, никто не посоветовал книжку Куранта, Роббинса "Что такое математика".
Что странно...

[loldop]

Решение тригонометрии:
$\sin^8 x + \cos^8 x = (\sin^4 x + \cos^4 x)^2 - 2\sin^4x\cos^4x$
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$
$\sin^nx\cos^nx = \frac{\sin^n2x}{2^n}$

Про параметры:
Первый шаг - перенести тангенс вправо.
Второй шаг - нарисовать обе кривые.
Исследовать поведение параболы.
(необходимо вспомнить и ограничение по аргументу)

Вычислить:
$\sin10^\circ\sin30^\circ\sin50^\circ\sin70^\circ\;=\;?$ ( без калькулятора, конечно! )

Насчет пределов:
1)
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\sqrt[5]{\frac{32x+7}{x-7}} - \frac{6}{x^2})^\frac{1-4x}{2x}$
2)
$\lim\limits_{x\rightarrow{+0}}(\sin 4x \cdot \log_2x)$

[SokolovArt]

Первый предел $1/4$ второй по-моему равен 0.

[SokolovArt]

Или же второй равен 0.

-- 12.01.2012, 20:50 --

Хотя ведь деление на бесконечность и даёт ноль, так что в принципе 0.

[PAV]

SokolovArt
Вы сейчас занимаетесь совсем не тем, чем нужно. Угадывание правильных ответов и маловразумительные их обоснования не дадут Вам новых знаний и наоборот уводят Вас от математики, поскольку в математике так действовать нельзя. Если уж хотите что-то изучать и знать по-настоящему, то сперва читайте теорию, как бы скучно и неинтересно это ни казалось, а примеры и задачи используйте для ее лучшего понимания и закрепления. Данные примеры направлены на то, чтобы учиться применять свойства. А пытаться решать примеры не зная толком определений и свойств используемых понятий - это ерунда.

[loldop]

SokolovArt
Хочется увидеть вашу логику в решении, а не ответы.
И задачу про синусы.