Доказать (точки на осях с простыми координатами, на сфере..)

[Keter]

Cash в сообщении #524665 писал(а):

Через любые три точки проходит бесконечное число сфер

Как доказать?

-- 08.01.2012, 20:10 --

не ну так эти три точки должны лежать на поверхности сферы!

-- 08.01.2012, 20:11 --

разве можно через три точки провести бесконечное число сфер так, чтобы эти точки принадлежали поверхности этих сфер?!

[Cash]

Посмотрите мой первый пост
P.S. Поверхность сферы звучит как масло масляное.

[bot]

Keter в сообщении #524671 писал(а):

Как доказать?

Добавим - не лежащие на одной прямой. Через эти точки проводим плоскость, в ней - окружность. Теперь, сколько сфер проходит содержит эту окружность?

[blondinka.ua]

Можно попытаться решить задачу, сформулированную здесь совместными усилиями нескольких авторов. Я так поняла, единственная представляющая интерес из здесь упоминавшихся, звучит примерно так: "Доказать, что найдется сфера, которой принадлежит бесконечное множество рациональных точек, одна из координат которых является простым числом."
Уравнение сферы возьмем, например, такое: $(x-a)^2+(y-b)^2+z^2=R^2$, где $a$ и $b$ - любые рациональные числа. Теперь в качестве $z$ выбираем любое простое число $p$ и определяем радиус сферы из уравнения $R^2=a^2+b^2+p^2$. Тогда для нахождения рациональных $x$ и $y$ получаем уравнение $x^2-2ax+y^2-2by=0$. Решая его с помощью подстановки $y=kx$, где $k$ - тоже рациональное число, получим бесконечно много рациональных значений абсциссы и ординаты $x=\frac{2(bk+a)}{1+k^2}$, $y=\frac{2k(bk+a)}{1+k^2}$ при всех возможных рациональных $k$ при выбранном простом значении аппликаты.

[Keter]

blondinka.ua в сообщении #525008 писал(а):

Можно попытаться решить задачу, сформулированную здесь совместными усилиями нескольких авторов.

Не нужно. Изначально задача была такая: "Доказать, что в 3-мерном пространстве всегда можно взять три точки, причём у каждой хотя бы одна координата простое число, так чтобы они принадлежали сфере.

Если эти три точки не лежат на одной прямой, то они лежат на окружности, которая и является "большим кругом" сферы, то есть они автоматически принадлежат сфере. Также окружность, на которой лежат эти точки, может быть геодезической линией сферы, причём таких сфер бесконечно много. Но в этих случаях и окружность, на которой эти точки, тоже принадлежит сфере.

Остаётся вариант, что три точки из условия всегда найдутся даже если окружность, на которой они лежат, не принадлежит сфере. Вот над этим стоит подумать.

А разве могут быть other variants?

[blondinka.ua]

Keter

Цитата:

Остаётся вариант, что три точки из условия всегда найдутся даже если окружность, на которой они лежат, не принадлежит сфере. Вот над этим стоит подумать.

Любая окружность принадлежит бесконечному множеству сфер, как здесь уже не раз писалось.

В такой формулировке: Keter

Цитата:

Изначально задача была такая: "Доказать, что в 3-мерном пространстве всегда можно взять три точки, причём у каждой хотя бы одна координата простое число, так чтобы они принадлежали сфере.

задача тривиальна - берем любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно даже со всеми координатами - простыми числами - вот они всему бесконечному множеству сфер и принадлежат.

[Keter]

blondinka.ua в сообщении #525458 писал(а):

задача тривиальна - берем любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно даже со всеми координатами - простыми числами - вот они всему бесконечному множеству сфер и принадлежат.

Но в этом случае окружность, на которой лежат эти точки, тоже принадлежит сфере. А как взять три точки так, чтобы эта окружность не принадлежала сфере, чтобы только они.

Сейчас примерную картинку покажу.

-- 10.01.2012, 22:52 --



Точки принадлежат сфере, а окружность, образованная ими - нет.

[ИСН]

Заинтриговали.

-- Ср, 2012-01-11, 00:53 --

А, всего-то. Подумаешь.

-- Ср, 2012-01-11, 00:55 --

На Вашем рисунке вообще нет упомянутой окружности, так что о ней нельзя сделать никакого утверждения, к коему сей рисунок мог бы служить иллюстрацией.

[svv]

Проведите через эти три точки плоскость, она разрежет сферу как раз по той окружности.

[Keter]

ИСН в сообщении #525470 писал(а):

На Вашем рисунке вообще нет упомянутой окружности, так что о ней нельзя сделать никакого утверждения, к коему сей рисунок мог бы служить иллюстрацией.

Как это?! Выделенная зелёным - окружность, которая "разрезает" сферу, пересекая её в трёх точках.

[arseniiv]

Keter в сообщении #525464 писал(а):

А как взять три точки так, чтобы эта окружность не принадлежала сфере, чтобы только они.

Так ведь никак. Доказательство выше от svv.

Keter в сообщении #525485 писал(а):

Выделенная зелёным - окружность, которая "разрезает" сферу, пересекая её в трёх точках.

Во-первых, это плохо видно (неудобные цвета). Во-вторых, это у вас круг, а окружности там нет. См. ниже от ИСН.

[ИСН]

Не вижу никакой зелёной окружности.

[blondinka.ua]

.

Keter в сообщении #525464 писал(а):

А как взять три точки так, чтобы эта окружность не принадлежала сфере, чтобы только они.

Никак.

Еще раз повторюсь, исходная задача тривиальна - как ни взять 3 точки, не лежащие на одной прямой с координатами - простыми числами, и они лежат на сфере!

И с этим я не согласна:

Keter в сообщении #525437 писал(а):

Не нужно.

blondinka.ua в сообщении #525008 писал(а):

Можно попытаться решить задачу, сформулированную здесь совместными усилиями нескольких авторов.

Нужно! решать то, что содержательно и интересно. Кстати, если бы все думали:"Не нужно",
ВТФ так и не была бы доказана, ибо ее доказательство как раз и рассматривает рациональные точки на кривых. Примерно так, только в миллионы раз сложнее.

[Keter]

ИСН в сообщении #525487 писал(а):

Не вижу никакой зелёной окружности.

Внутреннюю область не знал как заделать бесцветной в программе.

Осталось впринципе доказать, что существует бесконечно много сфер, которым принадлежат три точки с хотя бы одной целочисленной координатой, выраженной простым числом, причём окружность, образованная этими точками не принадлежит данной сфере.

-- 10.01.2012, 23:49 --

blondinka.ua в сообщении #525489 писал(а):

.

Keter в сообщении #525464 писал(а):

Нужно! решать то, что содержательно и интересно. Кстати, если бы все думали:"Не нужно",
ВТФ так и не была бы доказана, ибо ее доказательство как раз и рассматривает рациональные точки на кривых. Примерно так, только в миллионы раз сложнее.

Согласен.

[blondinka.ua]

(Оффтоп)

Дальше тему надо закрывать, а еще лучше - в чулан. ТС слышит только себя.