Касательные к эллипсу

[tdayne]

Ребят, помогите с заданием.
Найти касательные к эллипсу: $x^2/30+y^2/24=1$ которые параллельны прямой y=2x+17.

Начал делать: Уравнение любой прямой параллельной данной выглядит так: $y=2x+b $, где $b$ нужно подобрать такой, чтобы прямая касалась эллипса. Уравнение касательной к эллипсу: $x_1x/30+y_1y/24=1$, то есть мы получили точку $M(x_1,y_1)$ которая принадлежит эллипсу. Но вот как связать все это дело с подбором b?

[Someone]

А сколько общих точек у эллипса и его касательной?

[tdayne]

Хм, немного пытаюсь сообразить) Получается, что эта точка должна принадлежать и прямой, то есть можно подставить координаты в ее уравнение$ y_1=2x_1+b$ И эта же точка принадлежит эллипсу, то есть можно подставить $x_1$ и $y_1$ в его уравнение. Как раз получим 3 уравнения с тремя неизвестными. $x_1 y_1$ и $b$, находим $b$ Это правильное решение будет?

-- 11.01.2012, 00:10 --

Ан нет, 2 уравнения и 3 неизвестных

-- 11.01.2012, 00:11 --

Someone в сообщении #525449 писал(а):

А сколько общих точек у эллипса и его касательной?

одна) Но откуда взять 3е уравнение?

[Someone]

Не понял, какие "три" уравнения. Я вижу только уравнение эллипса и уравнение семейства параллельных прямых.

[tdayne]

Разобрался
Еще одно уравнение такое: $-4x_1/5y_1=2$
Оно из выделения углового коэффициента из уравнения касательных для эллипса, он же тоже должен быть равен 2!

Все получилось, ответ: $y=2x\pm12$

[Someone]

Господи, какие премудрости. Я бы написал систему уравнений

$$\begin{cases}\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{24}=1,\\ y=2x+b\end{cases}$$

и посмотрел, когда она имеет единственное решение.

[tdayne]

Единственное? Так касательных всегда же будет 2. Ну разве что исключая случай, когда исходная прямая и есть касательная

[Someone]

А причём тут количество касательных? Вы помните, что я у Вас спросил в первом своём сообщении?

[tdayne]

Всё) Решил Вашу систему, ответ сошелся $b=\pm12$ спасибо.