Равенство подгрупп циклической группы

[jrock]

Пусть $G$ - циклическая группа. $F,H \leqslant G$ и $G/F \cong G/H$. Докажите что$F=H$.

Мое решение.

Если $|F| = |H|$ тогда очевидно что они равны, так как у циклической группы может быть только одна возможная подгруппа данного порядка.

Не могу формально показать что если $F\neqH$ тогда не может быть, что $G/F \cong G/H$. Мне это понятно(кажется) только интуитивно.

Проблема в том, что я кажется не понимаю в полной мере что такое факторгруппа.

[VAL]

jrock в сообщении #514866 писал(а):

Пусть $G$ - циклическая группа. $F,H \leqslant G$ и $G/F \cong G/H$. Докажите что$F=H$.

Мое решение.

Если $|F| = |H|$ тогда очевидно что они равны, так как у циклической группы может быть только одна возможная подгруппа данного порядка.

Угу.

Цитата:

Не могу формально показать что если $F\neqH$

Какое-то странное условие!

Цитата:

тогда не может быть, что $G/F \cong G/H$. Мне это понятно(кажется) только интуитивно.

Проблема в том, что я кажется не понимаю в полной мере что такое факторгруппа.

Для конечной циклической группы, проще всего воспользоваться тем, что порядок факторгруппы $G/H$ равен частному от деления порядка $G$ на порядок $H$.

Остается случай бесконечной циклической группы. Но она всего одна: это $\mathbb Z$ по сложению. С этим случаем тоже легко разобраться. Заодно поймете, что такое факторгруппа По крайней мере, в этом простейшем, но очень важном случае.

[jrock]

Я хотел сказать:
"Не могу формально показать что если $F \neq H$, тогда невозможно, что $G/F \ncong G/H$. "

Цитата:

Для конечной циклической группы, проще всего воспользоваться тем, что порядок факторгруппы равен частному от деления порядка на порядок .

Да, согласен. Это утверждает теорема Лагранжа.

Видимо дальше нужно сказать что порядок $G/F$ будет отличный от порядка $G/H$, так как мы предположили что $|F| \neq |H|$. Согласен что уже изоморфизма быть не может, ведь не может быть изоморфизма между группами разного порядка.

Про бесконечную циклическую группу я могу сказать (неформально) следующее: если мы берем подгруппу бесконечной циклической группы, то мы выбираем элемент, которым это новая подгруппа будет порождена. Так как это исходная $G$ группа циклическая, то у каждого элемента в группе разный порядок (степени).

Далее верно следующее: если выбрать разные порождающие элементы для подгруппы, то порядок фактор группы очевидно не может быть одинаковым. Значит и изоморфизма здесь тоже не сделать.

Если это все верно, то я кажется врубился.

[VAL]

jrock в сообщении #514892 писал(а):

Про бесконечную циклическую группу я могу сказать (неформально) следующее: если мы берем подгруппу бесконечной циклической группы, то мы выбираем элемент, которым это новая подгруппа будет порождена. Так как это исходная $G$ группа циклическая, то у каждого элемента в группе разный порядок (степени).

Нет, порядки порождающих элементов всех подгрупп (кроме нулевой), как-раз таки будут равны (бесконечности). А вот сами порождающие элементы различных подгрупп будут различны.

Цитата:

Далее верно следующее: если выбрать разные порождающие элементы для подгруппы, то порядок фактор группы очевидно не может быть одинаковым. Значит и изоморфизма здесь тоже не сделать.

Вот это верно. С одной оговоркой: противоположные элементы порождают одинаковые подгруппу.

[jrock]

Тогда давайте доведем дело до конца. Простите уж за мое занудство.

В случае бесконечной группы не верно утверждение о порядке элементов группы. Они бесконечны, абсолютно очевидно, по той причине, что порождающий элемент имеет бесконечную степень, тогда и все его степени (кроме нулевой что суть наш нейтральный элемент) имеет бесконечный порядок.

Также верно, что элемент и его обратный порождают одну и туже группу. Ведь это группа: в ней должен быть элемент и обратный к нему. Тогда возьмем $f \in F, h \in H, f \neq h, f^{-1} \neq h$ и $f$ - порождающий элемент для $F$, а $h$ для $H$ тогда фактор группы $G/F$ и $G/H$ будут суть дизъюнктивное объединение $G$, но кол-во элементов в первом объединении будет отлично от количества элементов во втором. Тогда нет изоморфизма. Тогда предположение, что $F \neq H$ неверно.

[bot]

jrock в сообщении #514964 писал(а):

тогда фактор группы $G/F$ и $G/H$ будут суть дизъюнктивное объединение $G$

Прочитайте внимательно написанное. Элементами фактор-групп являются смежные классы ...

[VAL]

bot в сообщении #514987 писал(а):

jrock в сообщении #514964 писал(а):

тогда фактор группы $G/F$ и $G/H$ будут суть дизъюнктивное объединение $G$

Прочитайте внимательно написанное. Элементами фактор-групп являются смежные классы ...

Мне кажется, jrock именно это и имел в виду (учитывая продолжение процитированной фразы).

[overwriter]

А зачем вообще нужно отдельно рассматривать бесконечную группу?

[overwriter]

Подскажите пожалуйста, не понимаю как показано то что фактор-группы не изоморфны в случае бесконечной G

[AV_77]

Вы не порядками подгрупп оперируйте, а индексами. В циклической группе существует единственная подгруппа заданного индекса.