2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентное соотношение
Сообщение08.01.2012, 09:39 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Определим М-многочлены (минимаксные).
Определение: 1. ($\forall j=\overline{1,k}$) $F=x_j$ - М-многочлен.
2. Если $F,G$ - М-многочлены, то $-F, F+G, \min (F,G)$ - М-многочлены (отсюда следует, что $\max(F,G)$ - тоже М-многочлен).
3. Других М-многочленов нет.
Гипотеза Пусть $F$ - М-многочлен. Тогда рекуррентное соотношение $a_n=F(a_{n-},\ldots,a_{n-k})$ удовлетворяет некоторому линейному однородному рекуррентному уравнению $a_n=G(a_{n-1},\ldots,a_{n-m})$ ($G$ - обычный многочлен).

(источник)

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=34413&st=20

Как это доказать? И верно ли вообще?
Мы рассматривали рекуррентности $a_n=a_{n-1}-\min (a_{n-2};a_{n-3})$ ($a_n$ имеет тогда характеристическое уравнение $k^{15}-3=0$) и $a_n=-a_{n-1}-2\min(a_{n-2};a_{n-3})$ ($a_n$ имеет тогда характеристическое уравнение $k^3-k^2+k-1=0$). Пытались выразить $\min (x,y)=\frac{x+y}{2}-\frac{|x-y|}{2}$ и взять линейный оператор выражений внутри модуля и вне модуля и из них как-то построить многочлен $G$, но ничего не получается :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение
Сообщение08.01.2012, 18:12 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Ну по крайней мере предпериод может быть сколь угодно длинным для одного и того же $F$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение
Сообщение09.01.2012, 06:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Null в сообщении #524595 писал(а):
Ну по крайней мере предпериод может быть сколь угодно длинным для одного и того же $F$
Да. Но будем рассматривать только "периодическую часть" - начиная с некоторого $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение
Сообщение10.01.2012, 17:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Я не сразу заметил, но тривиальный факт: характеристической многочлен однородного уравнения, которому по гипотезе удовлетворяет $a_n$, зависит от начальных условий рекуррентности.
Например, для $a_n = \min (a_{n-1}, a_{n-2}) - \min (a_{n-3};a_{n-4})$ с начальными условиями $a_j = 1;2;2;1$ получается периодическим, а при $a_j = 3;1;5;0$ неограниченна.
Так что свойство не настолько интересное, но все же.

Пусть задана последовательность, удовлетворяющая неизвестному линейному однородному рекуррентному уравнению. Как можно найти его коэффициенты? Каков может быть алгоритм их поиска?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group