Котангенс в нуле в ряд тейлора

[never-sleep]

$y=\ctg x$

Нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности $x=0$ с точностью до $o(x^4)$

В лоб по формуле Тейлора -- не получается, ибо $y(0)$ не определено

$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\ctg x=A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+o(x^4)$

$\cos x=(A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+o(x^4))\sin x$

$1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)=(A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+O(x^5))(x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^4))$

Тут дело в том, что приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим при $x^0$
равенство $1=0$

Мне кажется, что это все связано с неопред. котангенса в нуле...

Появилась идея разложить тангенс в нуле, а потом воспользоваться тем, что $\ctg x=(\tg x)^{-1}$
и раскладывать в Тейлора так, но мне не нравится эта затея...

Может подскажете -- как быть?)

[Nemiroff]

Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #525264 писал(а):

Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.

Ок, спасибо! А как вы до этого догадались и как это можно обосновать, что мы должны добавлять отрицательные степени? А почему только минус первую? А может еще нужно минус вторую?
Как в аналогичных примерах действовать)

Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!

[PAV]

Рассмотрите произведение $x\ctg x$ - особенность в нуле исчезнет.

[Nemiroff]

Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.

[svv]

never-sleep писал(а):

Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!

Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание -- разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле -- невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или -- Тейлором, но несколько другую функцию ($x\ctg x$). Но это уже другие задачи.

[never-sleep]

PAV в сообщении #525269 писал(а):

Рассмотрите произведение $x\ctg x$ - особенность в нуле исчезнет.

Ок, спасибо, понятно)

-- 10.01.2012, 18:25 --

Nemiroff в сообщении #525273 писал(а):

Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.

Спасибо) Я понял так)

$\sin x=x+x\alpha(x)$

$\cos x=1+\beta(x)$

$$\ctg x=\dfrac{1+\beta(x)}{x+x\alpha(x)}=\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1+\beta(x)}{1+\alpha(x)}=\dfrac{1}{x}\cdot (1+\beta(x))\cdot( 1+\alpha(x))^{-1}=\dfrac{1}{x}\cdot (1+\beta(x))\cdot (1-\alpha(x)+\dfrac{\alpha^2(x)}2+...)$$

Правильно?

-- 10.01.2012, 18:30 --

svv в сообщении #525275 писал(а):

Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание -- разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле -- невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или -- Тейлором, но несколько другую функцию ($x\ctg x$). Но это уже другие задачи.

Ок, спасибо, теперь понятнее. В ряде тейлора вроде как нет отрицательных степеней...видимо поэтому это разложение и нельзя назвать рядом тейлора.

[SpBTimes]

Лоран, если хотите