2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 14:52 


27/11/11
153
$y=\ctg x$

Нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности $x=0$ с точностью до $o(x^4)$

В лоб по формуле Тейлора -- не получается, ибо $y(0)$ не определено

$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\ctg x=A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+o(x^4)$

$\cos x=(A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+o(x^4))\sin x$

$1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)=(A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+A_4x^4+O(x^5))(x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^4))$

Тут дело в том, что приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим при $x^0$
равенство $1=0$

Мне кажется, что это все связано с неопред. котангенса в нуле...

Появилась идея разложить тангенс в нуле, а потом воспользоваться тем, что $\ctg x=(\tg x)^{-1}$
и раскладывать в Тейлора так, но мне не нравится эта затея...

Может подскажете -- как быть?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 14:58 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 15:00 


27/11/11
153
Nemiroff в сообщении #525264 писал(а):
Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени.
Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.


Ок, спасибо! А как вы до этого догадались и как это можно обосновать, что мы должны добавлять отрицательные степени? А почему только минус первую? А может еще нужно минус вторую?
Как в аналогичных примерах действовать)

Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 15:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Рассмотрите произведение $x\ctg x$ - особенность в нуле исчезнет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 15:08 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
never-sleep писал(а):
Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!
Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание -- разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле -- невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или -- Тейлором, но несколько другую функцию ($x\ctg x$). Но это уже другие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 18:21 


27/11/11
153
PAV в сообщении #525269 писал(а):
Рассмотрите произведение $x\ctg x$ - особенность в нуле исчезнет.

Ок, спасибо, понятно)

-- 10.01.2012, 18:25 --

Nemiroff в сообщении #525273 писал(а):
Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.


Спасибо) Я понял так)

$\sin x=x+x\alpha(x)$

$\cos x=1+\beta(x)$

$$\ctg x=\dfrac{1+\beta(x)}{x+x\alpha(x)}=\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1+\beta(x)}{1+\alpha(x)}=\dfrac{1}{x}\cdot (1+\beta(x))\cdot( 1+\alpha(x))^{-1}=\dfrac{1}{x}\cdot (1+\beta(x))\cdot (1-\alpha(x)+\dfrac{\alpha^2(x)}2+...)$$

Правильно?

-- 10.01.2012, 18:30 --

svv в сообщении #525275 писал(а):
Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание -- разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле -- невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.

Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.

Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или -- Тейлором, но несколько другую функцию ($x\ctg x$). Но это уже другие задачи.


Ок, спасибо, теперь понятнее. В ряде тейлора вроде как нет отрицательных степеней...видимо поэтому это разложение и нельзя назвать рядом тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
Сообщение10.01.2012, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Лоран, если хотите

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group