SUPER ZADACHA

[[ws]woland]

Найти (не перебором) все 3-ох значные числа при любой перестановке цыфр которого новое (и старое) числа делятся на 27

[Руст]

Это очевидно, числа имеющие только цифры, делящиеся на 3 (0,3,6,9). Исключая вариант, начинающийся с нуля, получаем 3*4*4=48 вариантов.

[photon]

Руст,а вы точно не просчитались?
Трехзначных чисел делящихся на 27 вроде меньше, чем 48, а тут еще и условие с перестановками...Скажем, 369 и все варианты от перестановок не делятся на 27

[[ws]woland]

это не то!
надо найти все числа (3-ох зн.) которые при любой перестановке цыфр дел на 27 например 999

[bot]

Ограниченным перебором вроде не шибко сложно. После деления на 9 число становится двузначным (исключений мало) и делящимся на 3. Так что их заведомо не более ~30.

[photon]

[ws]woland писал(а):

например 999

а других и нет

[Руст]

Я считал, те, которые дают одинаковый остаток при делении на 27, правда тогда ещё надо добавить не учтенные числа с тремя одинаковыми цифрами 111,222,444,555,777,888. А здесь нужно среди них выбрать с суммой цифр делящейся на 9 после деления их на3, т.е. если цифры 3x,3y,3z, то x+y+z=9. Единственное трёхзначное число с таким свойством 999.

[bot]

Ну да, для суммы цифр при первом прикиде имеем три возможности:
27, 18 и 9.

[sadomovalex]

999 - единственное трехзначное решение
Пусть $x=a_210^2+a_110+a_0$. Выпишем все числа, получающиеся путем перестановки $a_i$. По условию они должны делиться на 27. Сложив их все, получим $a_2+a_1+a_0=\frac{27}{222}k$, где $k$ - некоторое целое число. Очевидно что сумма цифр должна быть целой. Т.к. (27, 222)=1, k=222, и $a_2+a_1+a_0=27$. Т.к. $a_i \leq 9$, получаем что $a_2=a_1=a_0=9$

[[ws]woland]

Че значит (27,222)=1?

[RIP]

[ws]woland писал(а):

Че значит (27,222)=1?

Это значит, что наибольший общий делитель чисел 27 и 222 равен 1.

[bot]

(27,222) это наибольший общий делитель, он конечно не 1, а 3.

[RIP]

bot писал(а):

(27,222) это наибольший общий делитель, он конечно не 1, а 3.

И правда, а я и не обратил внимания
Тем не менее, в моем предыдущем посте нет ошибки

[[ws]woland]

спс бАльшое

[незваный гость]

Если число записано цифрами $a, b, c$ (причем $a$ — наимeньшая), то из делимости всех перестановок немедленно следует что $3 | b-a$, $3 | c-a$. Сделаем замену $b \leftarrow a + 3\beta$, $c \leftarrow a + 3 \gamma$. Имеем $9 | a + \beta + \gamma$. Значение последней суммы сильно ограничено тем, что $a, b, c$ — цифры. Поэтому либо $a + \beta + \gamma = 0$ (тривиальный случай, все цифры 0), либо $a + \beta + \gamma = 9$. Выражаем $c$: $c = 27-2a -3\beta$. Из того, что $b, c$ цифры, имеем два неравенства: $a + 3 \beta \leq 9$ и $27 - 2 a - 3\beta \leq 9$. Перепишем второе в виде $ a + 1.5 \beta \geq 9$, и становится очевидно, что решение одно $a = 9, \beta = \gamma = 0$, что соответствует 999.