Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)

[ruzmaz]

Некоторое время назад попалась на глаза задачка из сборника "Математика. 50 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ", Власова А.П., Евсеева Н.В. (там есть еще одна подобного характера, думаю, решается аналогично):

Решите в натуральных числах уравнение
$n! - 3n + 28 = k^2$

Стандартные для таких задач методы решения не работают, а своих идей пока нет Правильного решения в интернете не нашел. Ответ к задаче (тот, что в сборнике) известен и не представляет интереса, интересует способ решения.

[svv]

Наверняка они ожидают, что человек просто переберет несколько первых значений $n$ и найдет решение уже для $n=3$ (а искать все решения или доказывать, что других нет -- не требуется).
Тот, кто сдает экзамен, тоже понимает, что от него не могут ожидать чего-то запредельно сложного, и принимается за перебор, почти наверняка зная, что найдет решение с первой пятеркой факториалов, и наверняка зная, что $n\leqslant 10$.

[Legioner93]

svv в сообщении #524403 писал(а):

а искать все решения или доказывать, что других нет -- не требуется

Неужели? Это всё-таки ЕГЭ, а не вступительные экзамены в 5 класс.

[svv]

Просто потому, что это не указано в задании.

[ruzmaz]

Я, конечно, не в курсе всех нововведений, но, насколько мне известно, ответ на задания из части C должен быть развернутым и он рассматривается экспертами. И тех, кто собрался сдавать ЕГЭ, извещают об этом заранее. Просто написать число там не прокатит.
P.S. В самом сборнике ответ в виде пары чисел.

[Legioner93]

svv
Странно это слышать от вас.

svv в сообщении #524408 писал(а):

Просто потому, что это не указано в задании.

Фраза

ruzmaz в сообщении #524400 писал(а):

Решите уравнение

подразумевает именно

svv в сообщении #524403 писал(а):

искать все решения или доказывать, что других нет

[Nemiroff]

Посмотрите на какие-нибудь остатки. По модулю 5, к примеру.

[ruzmaz]

Nemiroff в сообщении #524423 писал(а):

Посмотрите на какие-нибудь остатки. По модулю 5, к примеру.

Вы имеете в виду посмотреть, пересекаются ли множества возможных остатков от деления левой и правой части уравнения на $5$, при условии, что $n!$ делится на $5$? Если да, то пересекаются

[Nemiroff]

Да, что-то я не о том подумал. Тут остатки как-то не очень помогают.
А это правда с ЕГЭ, или кто-то просто выдумал задачку с восклицательным знаком?

[ruzmaz]

Nemiroff в сообщении #524443 писал(а):

Тут остатки как-то не очень помогают.

Они действительно помогают в похожих примерах, но видимо не в этом.

Nemiroff в сообщении #524443 писал(а):

А это правда с ЕГЭ, или кто-то просто выдумал задачку с восклицательным знаком?

Лично я сомневаюсь, что прям с ЕГЭ. В большинстве случаев упоминания этой задачи в тырнете, что я видел, говорилось об этом самом сборнике задач как об источнике (если про источник вообще что-то говорилось). А в самом сборнике не сказано о том, бывали ли какие-либо из представленных в сборнике задач на ЕГЭ, есть только фраза "Каждый вариант составлен в полном соответствии с требованиями единого ...".

Кстати, о тех, кто возможно выдумал эту штуку: есть кто-нибудь из лицея №1580 при МГТУ им. Баумана (г. Москва)?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Поиск по формулам не рулит
topic34252.html

$n! - 3n + 28 = k^2 \Leftrightarrow n((n-1)!+3)=k^2-28$. Пусть $p$ - простое, тогда для всех $n \geqslant p$ правая часть сравнима с нулем по модулю $p$. $28$ - не квадрат, следовательно существует простой модуль, по которому $28$ - не квадрат. Находите такой простой модуль. Дальше понятно

[Батороев]

Sonic86 в сообщении #524453 писал(а):

$n! - 3n + 28 = k^2 \Leftrightarrow n((n-1)!+3)=k^2-28$. Пусть $p$ - простое, тогда для всех $n \geqslant p$ правая часть сравнима с нулем по модулю $p$.

На основании чего Вы делаете вывод, что левая часть сравнима с нулем по модулю $p$? Был бы там в сомножителях факториал, но его нет - только "голое" $n$.

[nnosipov]

ruzmaz в сообщении #524400 писал(а):

Некоторое время назад попалась на глаза задачка из сборника "Математика. 50 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ", Власова А.П., Евсеева Н.В.

Ещё одна странная задача из этой книжки уже ранее обсуждалась, см. topic44485.html Моё мнение --- авторы попросту схалтурили. В книге есть и другие признаки халтуры (я просматривал только раздел задач С6).

[ruzmaz]

nnosipov
Да, есть там такая

Sonic86 в сообщении #524453 писал(а):

$n! - 3n + 28 = k^2 \Leftrightarrow n((n-1)!+3)=k^2-28$

Хм. А почему у Вас
$n((n - 1)! + 3) = k^2 - 28$ ,
а не
$n((n - 1)! - 3) = k^2 - 28$ ?

[Sonic86]

Батороев в сообщении #524461 писал(а):

На основании чего Вы делаете вывод, что левая часть сравнима с нулем по модулю $p$? Был бы там в сомножителях факториал, но его нет - только "голое" $n$.

Тьфу, опять глупость написал