Сумма седьмых степеней

[Ktina]

1) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 1508. Может ли сумма их седьмых степеней равняться

а) 2012?

б) 2014?

в) 2019?

2) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 2012. Может ли при некотором нечётном натуральном $ n $ сумма их $ n $ - ых степеней равняться $2012^{2012}$?

3) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 2012. Каждое из этих чисел возвели в степень с нечётным натуральным показателем (показатели могут быть различны, скажем, первое число возвели в куб, второе - в пятую степень ...). Может ли теперь сумма получившихся степеней равняться $2012^{2012}$?

(из задач, предлагавшихся на матче Чехия - Словакия, переработка)

[Sirion]

1 б) нет, ибо остаток от деления на 7
1 с) нет, ибо остаток от деления на 2

[Ktina]

Sirion в сообщении #524051 писал(а):

1 б) нет, ибо остаток от деления на 7
1 с) нет, ибо остаток от деления на 2

(Оффтоп)

Вот пункт б) все, почему-то, через семёрку решают (ясное дело, почему, Малую Теорему Ферма не в дровах налуркали). А Вы тот же пункт б) попытайтесь иначе решить, и тогда вторая и третья задачи Вам покорятся.
И, кстати, пункт в) тоже можно не через двойку

[Shadow]

Но пункт б и по модулю 3 можно. По пункту а:

$\\1595.1+48.(-2)+3.3=1508\\ 1595.1^7+48.(-2)^7+3.3^7=2012$

И другая задача по модулю 3.

[Ktina]

Shadow в сообщении #524078 писал(а):

Но пункт б и по модулю 3 можно. По пункту а:

$\\1595.1+48.(-2)+3.3=1508\\ 1595.1^7+48.(-2)^7+3.3^7=2012$

И другая задача по модулю 3.

Ага, модуль 3 рулит.
Только в пункте а) можно без отрицательных чисел обойтись, если вспомнить, что $2^7\cdot 4-2\cdot 4=504=2012-1508$

[Shadow]

Я же решал систему. У меня в тетради записано
$\\x+2y=1508\\ x+128y=2012\\ \\ 127y=504$
Ужас!