2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма седьмых степеней
Сообщение06.01.2012, 19:58 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
1) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 1508. Может ли сумма их седьмых степеней равняться

а) 2012?

б) 2014?

в) 2019?

2) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 2012. Может ли при некотором нечётном натуральном $ n $ сумма их $ n $ - ых степеней равняться $2012^{2012}$?

3) Сумма нескольких целых (не обязательно натуральных и не обязательно различных) чисел равна 2012. Каждое из этих чисел возвели в степень с нечётным натуральным показателем (показатели могут быть различны, скажем, первое число возвели в куб, второе - в пятую степень ...). Может ли теперь сумма получившихся степеней равняться $2012^{2012}$?

(из задач, предлагавшихся на матче Чехия - Словакия, переработка)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма седьмых степеней
Сообщение07.01.2012, 00:29 


11/07/11
164
1 б) нет, ибо остаток от деления на 7
1 с) нет, ибо остаток от деления на 2

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма седьмых степеней
Сообщение07.01.2012, 01:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Sirion в сообщении #524051 писал(а):
1 б) нет, ибо остаток от деления на 7
1 с) нет, ибо остаток от деления на 2

(Оффтоп)

Вот пункт б) все, почему-то, через семёрку решают (ясное дело, почему, Малую Теорему Ферма не в дровах налуркали). А Вы тот же пункт б) попытайтесь иначе решить, и тогда вторая и третья задачи Вам покорятся.
И, кстати, пункт в) тоже можно не через двойку :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма седьмых степеней
Сообщение07.01.2012, 01:33 


26/08/11
2102
Но пункт б и по модулю 3 можно. По пункту а:

$\\1595.1+48.(-2)+3.3=1508\\
1595.1^7+48.(-2)^7+3.3^7=2012$

И другая задача по модулю 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма седьмых степеней
Сообщение07.01.2012, 02:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #524078 писал(а):
Но пункт б и по модулю 3 можно. По пункту а:

$\\1595.1+48.(-2)+3.3=1508\\
1595.1^7+48.(-2)^7+3.3^7=2012$

И другая задача по модулю 3.

Ага, модуль 3 рулит.
Только в пункте а) можно без отрицательных чисел обойтись, если вспомнить, что $2^7\cdot 4-2\cdot 4=504=2012-1508$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма седьмых степеней
Сообщение07.01.2012, 08:42 


26/08/11
2102
Я же решал систему. У меня в тетради записано
$\\x+2y=1508\\
x+128y=2012\\
\\
127y=504$
Ужас!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group