2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость мер
Сообщение07.02.2007, 20:57 


07/02/07
56
Уважаемые форумчане!
Возникла небольшая проблема.
Есть выпуклая непрерывная функция $f(u,x)$ для любого $u\in U$, где $U\subset\mathds{R}^m$ - выпуклый компакт, т.е. $f(u_k,x)\to f(u,x)$ при $u_k\to u$. Надо доказать, что $\mu\{x: f(u_k,x)=0\}\to\mu\{x: f(u,x)=0\}$, где $\mu(\cdot) $ - мера Лебега. Возможно понадобится наложить дополнительные ограничения на f(u,x).
Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2007, 21:56 


12/09/06
617
Черноморск
Не очень понятно условие. Если $x$ это действительная переменная, то $f(u_k,x)$ это последовательность функций $f_k(x)$ на прямой, сходящаяся поточечно(?) к функции $f(x)$. При этом мера нулей функций $f_k(x)$ не обязана сходиться к мере нулей функции $f(x)$. Например, $f_k(x)=\frac 1 k$, $f_k(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2007, 22:30 


07/02/07
56
Прошу прощения, возможно так будет понятнее.

1) $f(u,x)$ - выпуклая функция для любого $u\in U$, где $U\subset\mathds{R}^m$ - выпуклый компакт, $x\in\mathcal{X}\subset\mathds{R}^n$ - множество с кусочно гладкой границей, такое что $\mathcal{X}=\textup{cl}(\textup{int}\mathcal{X})$.
2)$f(u,x)$ непрерывна по $u$, т.е. $f(u+\Delta u)\to f(u,x)$, при $\Delta u\to0$.
3) Надо доказать, что $\textup{mes}_{n-1}\{x\in\mathcal{X}: f(u+\Delta u,x)=0\}\to\textup{mes}_{n-1}\{x\in\mathcal{X}: f(u,x)=0\}$, где $\textup{mes}_{n-1}(\cdot) $ - мера Лебега на $\mathds{R}^{n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2007, 11:47 


12/09/06
617
Черноморск
Пусть $u\in R^1$, $x\in R^1$ ,$\varphi(u)$ - выпуклая непрерывная не равная нулю если $u\neq0$,$\varphi(0)=0$, $\phi(x)$ - произвольная не равная 0 ни в одной точке, $f(u,x)=\varphi(u)\phi(x)$
Тогда при $u\neq0$ $f(u,x)$ не имеет нулей. При $u=0$ $f(u,x)=0$ на всей прямой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group