Сходимость мер

[ZheniaM]

Уважаемые форумчане!
Возникла небольшая проблема.
Есть выпуклая непрерывная функция $f(u,x)$ для любого $u\in U$, где $U\subset\mathds{R}^m$ - выпуклый компакт, т.е. $f(u_k,x)\to f(u,x)$ при $u_k\to u$. Надо доказать, что $\mu\{x: f(u_k,x)=0\}\to\mu\{x: f(u,x)=0\}$, где $\mu(\cdot) $ - мера Лебега. Возможно понадобится наложить дополнительные ограничения на f(u,x).
Буду рад любой помощи.

[В.О.]

Не очень понятно условие. Если $x$ это действительная переменная, то $f(u_k,x)$ это последовательность функций $f_k(x)$ на прямой, сходящаяся поточечно(?) к функции $f(x)$. При этом мера нулей функций $f_k(x)$ не обязана сходиться к мере нулей функции $f(x)$. Например, $f_k(x)=\frac 1 k$, $f_k(x)=0$

[ZheniaM]

Прошу прощения, возможно так будет понятнее.

1) $f(u,x)$ - выпуклая функция для любого $u\in U$, где $U\subset\mathds{R}^m$ - выпуклый компакт, $x\in\mathcal{X}\subset\mathds{R}^n$ - множество с кусочно гладкой границей, такое что $\mathcal{X}=\textup{cl}(\textup{int}\mathcal{X})$.
2)$f(u,x)$ непрерывна по $u$, т.е. $f(u+\Delta u)\to f(u,x)$, при $\Delta u\to0$.
3) Надо доказать, что $\textup{mes}_{n-1}\{x\in\mathcal{X}: f(u+\Delta u,x)=0\}\to\textup{mes}_{n-1}\{x\in\mathcal{X}: f(u,x)=0\}$, где $\textup{mes}_{n-1}(\cdot) $ - мера Лебега на $\mathds{R}^{n-1}$.

[В.О.]

Пусть $u\in R^1$, $x\in R^1$ ,$\varphi(u)$ - выпуклая непрерывная не равная нулю если $u\neq0$,$\varphi(0)=0$, $\phi(x)$ - произвольная не равная 0 ни в одной точке, $f(u,x)=\varphi(u)\phi(x)$
Тогда при $u\neq0$ $f(u,x)$ не имеет нулей. При $u=0$ $f(u,x)=0$ на всей прямой.