Работа переменной силы

[c-avia]

На частицу массой $m$ действует сила $F = \alpha e^{- \beta t} $ , где $ \alpha$ и $ \beta $ - положительные постоянные. При $ t = 0 $ скорость частицы $ \vec v = 0 $. Найти работу силы за очень большой промежуток времени ($t \to \infty $)
Рассуждения :
1. Работа переменной силы определяется $ A = \int \vec F \vec dS $
2. Границы интегрирования из условия о времени ясны, но вот непонятно что использовать заместо $ \vec dS $ , поэтому пока так: $ A = \int_{0}^{ \infty} \alpha e^{- \beta t} \vec dS $
Подскажите пожалуйста, как применить данную формулу для решения задачи.
P.S. Не принимайте близко к сердцу, возможно написал много глупостей.

[type2b]

попробуйте для начала что-нибудь попроще. Пусть тело массы $m$ вначале находится в покое, затем в течение времени $\tau$ на него действует постоянная сила $F$. Найти работу этой силы.

[c-avia]

Пробую:
Т.к. на тело действует постоянная сила, то будем применять частную формулу ($\alpha = 0$) $ A = FS$
$F$ известна, остается найти перемещение $ S $ тела за время $\tau$
Т.к. тело покоится и на него начинает действовать постоянная сила - значит движение равноускоренное. А значит перемещение $ S = \frac {a\tau^2} {2} $
Ускорение выразим из второго закона Ньютона. $ a = \frac {F} {m} $
Итого имеем: $ A = \frac {F^2t^2} {2m} $

[type2b]

правильно, только есть маленькая арифметическая ошибка -- потеряли $F$. Кстати, чтобы ошибок не делать, всегда проверяйте размерность в ответе.

Теперь пусть сила как-нибудь меняется. Тогда разобьем промежуток времени $\tau$ на маленькие кусочки, чтобы на каждом кусочке силу можно было считать примерно постоянной. Тогда работа будет примерно $\sum F(t_i) \Delta x_i$, согласны?
Надо теперь найти перемещения $\Delta x_i$ за промежутки времени $\Delta t_i$. Как это сделать?

[c-avia]

Спасибо, поправил.
Вот, что получилось:
$ \Delta x_{i} = \frac {a_i t^2_i} {2} = \frac { F(t_i) t^2_i} {2m} $ , тогда $ A = \Sigma \frac { F^2(t_i)t^2_i} {2m} $
Дальше, наверное, нужно перейти к опеределенному интегралу, но как это сделать я пока не представляю.

[type2b]

интеграл сам получится, не волнуйтесь. А формула неверная. $\Delta x_i$ -- маленькое перемещение, а у вас получилось конечное.

[c-avia]

Тогда попробую подругому:
Ускорение $ a_i = \frac {F(t_i)}{m} $
$ \Delta x_1 = 0 + 0+ \frac {a_i \Delta t^2_i} {2 } $
$ \Delta x_2 = x_{02} + v_{02}\Delta t_2 + \frac {a_2 \Delta t^2_i} {2 } $
Итого $ \Delta x_i = x_{0i} + v_{0i}\Delta t_i + \frac {a_i \Delta t^2_i} {2 } $ Только не понятно что нам это дает( появилась доп. переменная $ v_{0i} $ ее конечно можно заменить на $\frac { dS} {dt_i} $ только что это меняет
Если в предыдущем посте $ \Delta x_{i} = \frac {a_i t^2_i} {2} $ это формула конечного перемещения , то здесь "частичное перемещение" даже больше :(

[obar]

Да все гораздо проще.

$$ \int Fds=\int F\frac{ds}{dt}\,dt=\int F(t)v(t)dt. $$

Остается из второго закона найти скорость $v(t)$ и проинтегрировать.

[Circiter]

obar в сообщении #523828 писал(а):

Остается из второго закона найти скорость $v(t)$

Наверное стоит немножко для ТС пояснить. Из определения ускорения $a(t)=dv(t)/dt$ и второго закона $F(t)=ma(t)$ получается $dv(t)=m^{-1}F(t)dt$. Неопределенное интегрирование даст выражение типа $v(t)=V(t)+C$. Константу $C$ можно будет найти подстановкой сюда начального условия $v(0)=0$.

[c-avia]

Спасибо.
$ A = \int F(t)v(t)dt $
$v(t)= \int dv(t) = \int \frac {F(t)dt} {m} = \int {\alpha e^{-\beta t}} {m} dt = - \frac { \alpha e^{-\beta t}} {\beta m} + C$
$ C = \frac {\alpha e^{-\beta t}} {\beta m}$ , $ t = 0 \Rightarrow C = \frac {\alpha} {\beta m} $
$ A = \int \frac {\alpha e^{-\beta t}} {m} \left(-\frac {\alpha m^{-\beta t}} {\beta m} + \frac {\alpha} {\beta m} \right) dt$
Подскажите пожалуйста что не так.

(Оффтоп)

После школы это все выглядит очень необычно ..

[svv]

Когда найдена функция $v(t)$, можно воспользоваться тем, что

$$\int\limits_0^T F(t)\, v(t)\, dt=m\int\limits_0^T \frac{dv(t)}{dt}\,v(t)\,dt=\left. \frac{mv^2(t)}{2}\right|_0^T$$