Слабая сходимость.

[raiym]

Доказать, что если $x_n\rightarrow 0$ (слабо сходится) в нормированном пространстве $X$, то $\underline{lim}_{n\rightarrow\infty} ||x-x_n|| \geq||x||$ для любого элемента $x$. Не знаю как начать даже.

[Oleg Zubelevich]

на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$ и продолжим этот функционал по теореме Хана-Банаха без увеличения нормы на все $X$. Получим $\|\xi\|=1,\quad \xi\in X'$ Дальше сами

[vanchopolos]

Кстати, функционал у вас не линейный :)

[Oleg Zubelevich]

vanchopolos в сообщении #523453 писал(а):

Кстати, функционал у вас не линейный :)

Вы просто не поняли, что написано. Плохим студентам всегда чудится, что ошибка в книжке, а не у них в голове.

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #521626 писал(а):

на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$

Я тоже не понимаю что именно у Вас написано. Если $(\xi,x)$ обозначает "значение функционала $\xi$ на элементе $x$" и $\| x \|$ - это норма $x$, то $\xi$ действительно нелинеен.

[RIP]

$x$ — фиксированный вектор. Функционал этим равенством задан только на нём, а затем продолжается по линейности на $\operatorname{span}\{x\}$.

[raiym]

Oleg Zubelevich в сообщении #521626 писал(а):

на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$ и продолжим этот функционал по теореме Хана-Банаха без увеличения нормы на все $X$. Получим $\|\xi\|=1,\quad \xi\in X'$ Дальше сами

\
У самого не получается, подскажите, пожалуйста, что дальше делать.

[RIP]

Что можете сказать про $(\xi,x-x_n)$?

[raiym]

Не знаю, только, то, что она не сходится к $||x||$. :( что делать дальше?

-- 06.01.2012, 13:37 --

Если нетрудно, допишите решение пожалуйста

[RIP]

raiym в сообщении #523810 писал(а):

Если нетрудно, допишите решение пожалуйста

это запрещено правилами форума.

Вы имели в виду "сходится к $\|x\|$"? Это да. А можете ли эту последовательность оценить по модулю сверху?

[raiym]

$||x|| + ||x_n||$ вот так?

-- 06.01.2012, 13:46 --

По нашей норме $||x_n||$ не сходится к нулю. Тогда почему $||x-x_n||$
сходится к $||x||$

[RIP]

raiym в сообщении #523812 писал(а):

$||x|| + ||x_n||$ вот так?

слишком грубо. посмотрите на то, что надо доказать, и пытайтесь подогнать.

[raiym]

В задаче оценка снизу.
Вы предлагаете оценить сверху. Не пойму :(

-- 06.01.2012, 14:35 --

RIP в сообщении #523817 писал(а):

raiym в сообщении #523812 писал(а):

$||x|| + ||x_n||$ вот так?

слишком грубо. посмотрите на то, что надо доказать, и пытайтесь подогнать.

Что делать дальше?

-- 06.01.2012, 14:42 --

Oleg Zubelevich
Скажите, что дальше делать.

[raiym]

$||x|| < ||x-x_n|| + ||x_n||$ как доказать, что $ ||x_n||$

-- 06.01.2012, 15:44 --

$||x|| < ||x-x_n|| + ||x_n||$ как доказать, что $ ||x_n||$ сходится к нулю?