2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Слабая сходимость.
Сообщение30.12.2011, 14:32 
Доказать, что если $x_n\rightarrow 0$ (слабо сходится) в нормированном пространстве $X$, то $\underline{lim}_{n\rightarrow\infty} ||x-x_n|| \geq||x||$ для любого элемента $x$. Не знаю как начать даже.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение30.12.2011, 15:43 
на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$ и продолжим этот функционал по теореме Хана-Банаха без увеличения нормы на все $X$. Получим $\|\xi\|=1,\quad \xi\in X'$ Дальше сами

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение05.01.2012, 18:11 
Кстати, функционал у вас не линейный :)

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение05.01.2012, 18:19 
vanchopolos в сообщении #523453 писал(а):
Кстати, функционал у вас не линейный :)

Вы просто не поняли, что написано. Плохим студентам всегда чудится, что ошибка в книжке, а не у них в голове.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 07:17 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #521626 писал(а):
на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$

Я тоже не понимаю что именно у Вас написано. Если $(\xi,x)$ обозначает "значение функционала $\xi$ на элементе $x$" и $\| x \|$ - это норма $x$, то $\xi$ действительно нелинеен.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 08:26 
Аватара пользователя
$x$ — фиксированный вектор. Функционал этим равенством задан только на нём, а затем продолжается по линейности на $\operatorname{span}\{x\}$.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 11:36 
Oleg Zubelevich в сообщении #521626 писал(а):
на одномерном пространстве $\mathrm{span}\,\{x\}$ зададим линейный функционал $\xi$ формулой $(\xi,x)=\|x\|$ и продолжим этот функционал по теореме Хана-Банаха без увеличения нормы на все $X$. Получим $\|\xi\|=1,\quad \xi\in X'$ Дальше сами
\
У самого не получается, подскажите, пожалуйста, что дальше делать.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:30 
Аватара пользователя
Что можете сказать про $(\xi,x-x_n)$?

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:36 
Не знаю, только, то, что она не сходится к $||x||$. :( что делать дальше?

-- 06.01.2012, 13:37 --

Если нетрудно, допишите решение пожалуйста

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:40 
Аватара пользователя
raiym в сообщении #523810 писал(а):
Если нетрудно, допишите решение пожалуйста
это запрещено правилами форума.

Вы имели в виду "сходится к $\|x\|$"? Это да. А можете ли эту последовательность оценить по модулю сверху?

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:43 
$||x|| + ||x_n||$ вот так?

-- 06.01.2012, 13:46 --

По нашей норме $||x_n||$ не сходится к нулю. Тогда почему $||x-x_n||$
сходится к $||x||$

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:55 
Аватара пользователя
raiym в сообщении #523812 писал(а):
$||x|| + ||x_n||$ вот так?
слишком грубо. посмотрите на то, что надо доказать, и пытайтесь подогнать.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 13:59 
В задаче оценка снизу.
Вы предлагаете оценить сверху. Не пойму :(

-- 06.01.2012, 14:35 --

RIP в сообщении #523817 писал(а):
raiym в сообщении #523812 писал(а):
$||x|| + ||x_n||$ вот так?
слишком грубо. посмотрите на то, что надо доказать, и пытайтесь подогнать.


Что делать дальше?

-- 06.01.2012, 14:42 --

Oleg Zubelevich
Скажите, что дальше делать.

 
 
 
 Re: Слабая сходимость.
Сообщение06.01.2012, 15:43 
$||x|| < ||x-x_n|| + ||x_n||$ как доказать, что $ ||x_n||$

-- 06.01.2012, 15:44 --

$||x|| < ||x-x_n|| + ||x_n||$ как доказать, что $ ||x_n||$ сходится к нулю?

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group