2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:02 
Здравствуйте уважаемые друзья! Помогите пожалуйста решить уравнение!
Никак не получается:
$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:08 
Аватара пользователя
Ну возведите обе части в квадрат и учтите О.Д.З

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:16 
Ну я возвёл и у меня получилось: $16x^6-24x^4+10x^2-1=0$
ОДЗ: $\Big[\dfrac{-\sqrt 3}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2} \Big]\cup \{1\}$

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:26 
Аватара пользователя
$1-x^2=x^2(4x^2-3)^2$
Пусть $x^2=y$.
$1-y=y(4y-3)^2$
Здесь надо как-то заметить, что $y=1/2$ -- корень, это позволит свести к квадратному.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:28 
а вдруг есть решения другие?

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:29 
svv в сообщении #523461 писал(а):
$1-y=y(4y-3)^2$
Здесь надо как-то заметить, что $y=1/2$ -- корень
Для этого нужно просто сделать уравнение примитивным (старший член = 1), а далее кубическое уравнение имеет либо целый корень, либо страшный корень.

Ramos в сообщении #523462 писал(а):
а вдруг есть решения другие?
Вдруг не бывает. Кубическое уравнение в поле имеет не более 3-х корней по теореме Безу.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:31 
Sonic86
я вас понял. Вот не имеется у нас целого корня, значит есть страшный корень.
Как его найти то?

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:32 
Подсказка: $4x^3-3x$ --- это третий многочлен Чебышёва $T_3(x)$. Поэтому положим $x=\cos\phi$ ... Корни будут вполне симпатичными.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 18:37 
Ramos в сообщении #523465 писал(а):
я вас понял. Вот не имеется у нас целого корня, значит есть страшный корень.
Страшный корень у кубического уравнения ищется только по формуле Кардано (погуглите, либо в Куроше Алгебра прочтите), либо в форме тригонометрической подстановки, как nnosipov предлагает.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 21:11 
Ramos в сообщении #523456 писал(а):
Ну я возвёл и у меня получилось: $16x^6-24x^4+10x^2-1=0$
ОДЗ: $\Big[\dfrac{-\sqrt 3}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2} \Big]\cup \{1\}$


Найдена какая-то ерунда, а не ОДЗ
ОДЗ это те икс которые можно подставить в уравнение (неравенство) так что левая и правая часть имеют смысл, ВСЕ, ничего больше.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 21:15 
В итоге ОДЗ: $\Big[-\dfrac{\sqrt 3}{2}, 0\Big]\cup\Big[\dfrac{\sqrt 3}{2}, 1\Big]$
Правильно найдено :?:

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 22:00 
Ramos в сообщении #523556 писал(а):
В итоге ОДЗ: $\Big[-\dfrac{\sqrt 3}{2}, 0\Big]\cup\Big[\dfrac{\sqrt 3}{2}, 1\Big]$
Правильно найдено :?:

обойдитесь без ОДЗ, ну его

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 23:11 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

mihailm
Обойдитесь без мозгов

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение05.01.2012, 23:28 
phys в сообщении #523631 писал(а):

(Оффтоп)

mihailm
Обойдитесь без мозгов


Во-первых, выше найдено не ОДЗ. ОДЗ (-1;1) - по определению множество значений переменной, при котором уравнение имеет смысл.
Во-вторых, решение уравнения сводится к кубическому, у которго есть рациональный корень 1/2, дальше все просто.

 
 
 
 Re: Уравнение
Сообщение06.01.2012, 00:05 
Цитата:
mihailm
Обойдитесь без мозгов

Как некрасиво, здесь абсолютно не нужно находить ОДЗ - никакого нового условия вы от него не получите.
Уравнение эквивалентно себе, возведенному в квадрат плюс условие на не отрицательность правой части.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group