первое начало термодинамики

[Himfizik]

Нет, ну в принципе, если рассматривать ваш процесс как медленный квазистатический, то вообщем то, почти ж то в каждый момент времени мы успеваем записать $k_{\text{Guck}}x=pS$. Тогда $k_{\text{Guck}}\Delta x=\Delta p S \Rightarrow p=p_0+\frac {k_{\text{Guck}}}{S} (x-x_0)$, что совпадает с Вашей связью если положить $k=k_{\text{Guck}}/S^2$. Соответственно, в любом случае работа как была $k_{\text{Guck}}x^2/2$, так она и останется. $\Delta U=C_V dT$. Хотите, выражайте все через $T$. Но там надо аккуратнее из-за квадратного уравнения относительно $p$.

Правда меня покоробил сначала вид изотермической сжимаемости. В принципе одного уравнения состояния достаточно для расчета сжимаемости, термического коэффициента давления и изобарического коэффициента теплового расширения. Но это условие связи меня отвлекло и я получил не очень внятный вид для этих коэффициентов.

[AndreyL]

Himfizik в сообщении #523193 писал(а):

Нет, ну в принципе, если рассматривать ваш процесс как медленный квазистатический, то вообщем то, почти ж то в каждый момент времени мы успеваем записать $k_{\text{Guck}}x=pS$. Тогда $k_{\text{Guck}}\Delta x=\Delta p S \Rightarrow p=p_0+\frac {k_{\text{Guck}}}{S} (x-x_0)$, что совпадает с Вашей связью если положить $k=k_{\text{Guck}}/S^2$. Соответственно, в любом случае работа как была $k_{\text{Guck}}x^2/2$, так она и останется. $\Delta U=C_V dT$. Хотите, выражайте все через $T$. Но там надо аккуратнее из-за квадратного уравнения относительно $p$.

Вы совершенно правы, при температуре в качестве независимой переменной получается:

$$\delta Q=\left(C_V+\frac{R \left(\sqrt{(p_0-k V_0)^2+4 k R T}-k V_0+p_0\right)}{2 \sqrt{(p_0-k V_0)^2+4 k R T}}\right)dT$$

Возможно там где-то надо поставить дополнительные условия, или в самом интегрировании, или в упрощении $T_1$. При численной проверке все параметры сходятся до пятого значащего знака.

Himfizik в сообщении #523193 писал(а):

Правда меня покоробил сначала вид изотермической сжимаемости. В принципе одного уравнения состояния достаточно для расчета сжимаемости, термического коэффициента давления и изобарического коэффициента теплового расширения. Но это условие связи меня отвлекло и я получил не очень внятный вид для этих коэффициентов.

Тут, по моему, как раз все правильно - при независимом давлении объем находим из уравнения связи, а температуру потом из уравнения состояния.

Первая маленькая задачка, с Вашей помощью, решена, получено общее решение. Кстати, вот все частные изо-решения, когда вместо связующего уравнения записываем "параметр равен константе":

$$p=p_0 \Longrightarrow \delta Q=(C_V+R)dT= \frac{p_0 (C_V+R)}{R} dV$$

$$V=V_0 \Longrightarrow \delta Q=C_V dT= \frac{C_V V_0}{R} dp$$

$$T=T_0 \Longrightarrow \delta Q=-\frac{R T_0}{p} dp= \frac{R T_0}{V} dV$$

Интересно, как теперь изменится задача для Ван-дер-Ваальсова газа при теплоемкости, не зависящей от температуры и давления (потом и это учтем).

[Himfizik]

AndreyL в сообщении #523221 писал(а):

Интересно, как теперь изменится задача для Ван-дер-Ваальсова газа при теплоемкости, не зависящей от температуры и давления (потом и это учтем).

Действуйте по аналогии, восстановите вид $U$, сравните с идеальным газом (Вас ждет "сюрприз").

[AndreyL]

Himfizik в сообщении #523230 писал(а):

Действуйте по аналогии, восстановите вид $U$, сравните с идеальным газом (Вас ждет "сюрприз").

Вот только там сразу будет сложность. Для идеального газа известно, что $\frac {\partial U}{\partial T}=C_V$, $\frac {\partial U}{\partial p}=0$ и $\frac {\partial U}{\partial V}=0$. Для реального газа это будет несправедливо, не совсем четко себе представляю, чему будут равны частные производные.

[Himfizik]

Так вот и восстановите вид функции $U$ от термодинамических величин, выбрав парочку независимых переменных, (забыв на время о механической связи) и, например, используя равенство, которое я уже писал (или похожее на него с участием $p$, если Вам так удобнее) найдите частную производную.

[AndreyL]

Himfizik в сообщении #522679 писал(а):

2 способ) Выбираем переменные $T$ и $V$. Несложно получить равенство: $(\frac {\partial U}{\partial V})_T=T(\frac {\partial p}{\partial T})_V-p$, используя либо метод циклов Карно, либо технику якобианов, либо, что почти тоже самое, выражение для свободной энергии в естественных переменных.

Циклы Карно я пока слабо понимаю, точнее, немного претит понимать нереализующийся в технике процесс. Не могли бы Вы чуть подробнее пояснить, как это сделать методом якобианов и выражением свободной энергии в естественных переменных?

[Himfizik]

AndreyL в сообщении #523305 писал(а):

немного претит понимать нереализующийся в технике процесс

Напрасно. Очень интересный метод. Суть метода состоит в возможности аппроксимировать любой процесс на $p-V$ диаграмме набором малых циклов Карно.

1) Для решения поставленной задачи с использованием формализма якобианов достаточно знать определения якобиана и тот факт, что площадь на $p-V$ и $T-S$ диаграммах одинакова: $\frac {\partial (T,S)}{\partial (p,V)}=1 $ (можно считать это условием термодинамической калибровки, а можно и вывести это через другие положения). Начнем преобразовывать: $(\frac {\partial U}{\partial V})_T=\frac {\partial (U,T)}{\partial (V,T)}=\frac {\partial (U,T)}{\partial (S,V)}\frac {\partial (S,V)}{\partial (V,T)}=...$ Далее продолжите запись, расписав первую дробь по определению якобиана (определителя матрицы Якоби), пользуясь калибровочным соотношением и первым началом термодинамики в дифференциальной форме, при этом вторую дробь "тревожить" не стоит.

2) Метод потенциалов позволяет, выбирая подходящую функцию описать всю термодинамику системы. Его использование сразу приведет нас к конкретному виду $U$. Три переменных $T$, $p$ и $V$ связаны уравнением состояния, в качестве независимых оставим $T$ и $V$. Естественными переменными для свободной энергии $F$ как раз являются $T$ и $V$. Получите выражение для $F$ в дифференциальной форме в естественных переменных, используя первое начало термодинамики и осуществляя преобразование Лежандра. Не забывайте, что $F$ величина экстенсивная. Отсюда несложно найти энтропию $S$ (тут вспомните про теплоемкость) с точностью до константы. Зная вид $F$ и $S$, находите $U$.