Зацикливается ли последовательность?

[Ktina]

Придумала сама, так что не судите строго, если где-то прокололась.

Дана последовательность, первый член которой равен 2012, а каждый следующий равен сумме 2012-ых степеней десятичных цифр предыдущего. Верно ли, что эта последовательность с некоторого места становится периодической?

[venco]

Верно, ввиду ограниченности.

[Руст]

Да, так как последовательность ограничена имеет менее $n$, цифр, где $n$ минимальное, удовлетворяющее условию $n*9^{2012}<10^{n-1}\to n<2012.$

[Sirion]

О, в своё время я подробно исследовал этот класс последовательностей)

Если некоторый член равен $n$, то последующий не превосходит $k\cdot(\log_{10} n+1)$, где $k$ в данном случае равняется $9^{2012}$, а в общем - максимальному значению функции, берущейся от цифр, на этих самых цифрах.
Исследовав это соотношение, нетрудно понять, что для $n$ выше некоторого порогового значения следующий член всегда будет меньше, а для $n$, меньшего либо равного ему - может быть больше, но порогового значения не превзойдёт.

Таким образом, вне зависимости от выбора первого члена последовательность в некоторый момент скатится в "потенциальную яму" и там, на конечном наборе значений, неизбежно выродится в циклическую.