Дираковские обозначения, простая задача.

[nobody47]

A - эрмитов оператор. Показать, что среднее значение квадрата того оператора неотрицательно $<\psi|A^2|\psi>\geqslant 0$.

Теорию прочел, но как то иногда бывает с новыми обозначениями - убей не пойму с чего начать. Как можно использовать эрмитовость?
Я правильно думаю, что это выражение можно представить в виде интеграла?

[Himfizik]

Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит ), то Вы успеете продолжить запись $\int\psi^*A~A~\psi ~dV=...$, пользуясь $A=A^*$.

[obar]

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):

Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.

В дираковских обозначениях это доказывается так: вставляется между двумя $A$ единичный оператор $\sum_n|n\rangle\langle n|$

$$ \langle\psi|A^2|\psi\rangle=\sum_n\langle\psi|A|n\rangle\langle n|A|\psi\rangle= \sum_n|\langle\psi|A| n\rangle|^2. $$

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):

Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит )

[nobody47]

obar в сообщении #522876 писал(а):

$$ \langle\psi|A^2|\psi\rangle=\sum_n\langle\psi|A|n\rangle\langle n|A|\psi\rangle= \sum_n|\langle\psi|A| n\rangle|^2. $$

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):

Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит )

Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее

[Himfizik]

nobody47 в сообщении #522902 писал(а):

Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее

Хорошо, что не видите, потому что ее там нет. Во втором равенстве и использовали.

[nobody47]

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):

Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит ), то Вы успеете продолжить запись $\int\psi^*A~A~\psi ~dV=...$, пользуясь $A=A^*$.

Предложенное вырожение следует сразу из определения ($A^2=A*A$) и зачем же нам пользоваться тем, что $A=A^*$, что кстати говоря, неверно, т.к. А запросто может быть комплексным.

Himfizik в сообщении #522909 писал(а):

nobody47 в сообщении #522902 писал(а):

Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее

Хорошо, что не видите, потому что ее там нет. Во втором равенстве и использовали.

Эээ да, я как обычно невнимателен. Но хотелось бы вас еще помучать вопросами:
$<n|A|\psi>=<\psi|A|n>$, если А - эрмитов. Но насколько я понимаю оператор А действует на все что стоит слева, т.е. сначала на функцию $\psi$, а после равенства на n! Как мы пронесли функцию через оператор??

$\int\psi^*A^2\psi ~dV=\int(\psi^*AE)(EA\psi)~dV=\int(\psi^*AE)(\psi^*AE)^t~dV=\int|(\psi^*AE)|^2~dV$ а так правильно? (t - эрмитово сопряжение)

-- 04.01.2012, 17:32 --

[Himfizik]

nobody47 в сообщении #522916 писал(а):

Предложенное вырожение следует сразу из определения () и зачем же нам пользоваться тем, что , что кстати говоря, неверно, т.к. А запросто может быть комплексным...

Звездочкой у меня обозначено эрмитово сопряжение. Это раз.
Оператор обычно действует на функцию справа от него. Это два.
В случае эрмитова оператора, действительно, можно считать, что он как бы и налево действует. Это три.
$(AB)^*=B^*A^*$. Это четыре.
Почитайте что-нибудь о бра- и кет- векторах. То, что Вы написали ниже немного неудачно выглядит в плане обозначений и, по-моему, такая форма записи указывает на непонимание человека, производящего ее (эту запись).
В одной из формул выше Вы потеряли сопряжение. И нет особенного смысла в "интегральной форме" лишний раз писать единичный оператор.

[whiterussian]

Эрмитово сопряжение обозначается даггером $A^\dagger$
Звездочкой обозначется комплексное сопряжение.

[Himfizik]

(Оффтоп)

Хм, не только я так обозначаю: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1% ... 1%86%D0%B0.

[type2b]

утверждение, что $\langle n|A|\psi\rangle=\langle \psi|A|n\rangle$ для эрмитова $A$ --- неверно. Как будет правильно, сообразите сами.

еще добавлю, что вставлять полную систему состояний тут ненужно, достаточно так: $\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\langle\psi|A^\dagger A|\psi\rangle=|A|\psi\rangle|^2$.

[Парджеттер]

(Про обозначения)

Насчет обозначений это, действительно, совершенно не однозначно (в том смысле, что в разных источниках обозначают по-разному), но, вероятно, удобнее иметь разные значки.

[мат-ламер]

В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю. Проясните что доказываем для тех кто не в теме. Может, что квадрат эрмитового оператора положительно определён? Это похоже на правду.

[Munin]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #523055 писал(а):

В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю.

Там всё очень просто: $\lvert a\rangle$ - вектор-столбец, $\langle a\rvert$ - вектор-строка. Скалярные произведения записываются без значков интегрирования или суммы.

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #523055 писал(а):

В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю.

Дирак П.А.М. "Принципы квантовой механики"

[nobody47]

type2b в сообщении #523048 писал(а):

утверждение, что $\langle n|A|\psi\rangle=\langle \psi|A|n\rangle$ для эрмитова $A$ --- неверно. Как будет правильно, сообразите сами.

еще добавлю, что вставлять полную систему состояний тут ненужно, достаточно так: $\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\langle\psi|A^\dagger A|\psi\rangle=|A|\psi\rangle|^2$.

1)опровергая равенство вы разнесли уже готовое решение с которым согласились 2 форумчанина))

2) $\int\psi^*A^2\psi ~dV=\int(\psi^*AE)(EA\psi)~dV=\int(\psi^*AE)(\psi^*AE)^\dagger ~dV=\int|(\psi^*AE)|^2~dV$
Тут в последнем равенстве я возвожу в квадрат, потому что в скобках, после действия операторов, будут стоять функции и $\dagger$ перейдет просто в сопряжение. Е - тождественный оператор и не меняется.
Еще я наивно полагаю что $\psi^\dagger = \psi^*$, т.к. $\psi$ - функция, а не оператор.
Если в этом выражении есть ошибка, большая просьба указать где конкретно.

3) готов согласиться с таким равенством: $\langle n|A|\psi\rangle ^\dagger=\langle \psi|A^\dagger|n\rangle$