2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 14:01 
Аватара пользователя


04/01/12
33
A - эрмитов оператор. Показать, что среднее значение квадрата того оператора неотрицательно $<\psi|A^2|\psi>\geqslant 0$.

Теорию прочел, но как то иногда бывает с новыми обозначениями - убей не пойму с чего начать. Как можно использовать эрмитовость?
Я правильно думаю, что это выражение можно представить в виде интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 14:40 


31/10/10
404
Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит :D ), то Вы успеете продолжить запись $\int\psi^*A~A~\psi ~dV=...$, пользуясь $A=A^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 14:50 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Himfizik в сообщении #522872 писал(а):
Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.

В дираковских обозначениях это доказывается так: вставляется между двумя $A$ единичный оператор $\sum_n|n\rangle\langle n|$
$$
\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\sum_n\langle\psi|A|n\rangle\langle
n|A|\psi\rangle= \sum_n|\langle\psi|A| n\rangle|^2.
$$

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит )

:D :D :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 15:47 
Аватара пользователя


04/01/12
33
obar в сообщении #522876 писал(а):
$$
\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\sum_n\langle\psi|A|n\rangle\langle
n|A|\psi\rangle= \sum_n|\langle\psi|A| n\rangle|^2.
$$

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #522872 писал(а):
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит )

:D :D :D


Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 16:02 


31/10/10
404
nobody47 в сообщении #522902 писал(а):
Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее

Хорошо, что не видите, потому что ее там нет. Во втором равенстве и использовали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 16:07 
Аватара пользователя


04/01/12
33
Himfizik в сообщении #522872 писал(а):
Да, можно это и в виде интеграла записать, можете в дираковских обозначениях оставить.
Если заслуженный участник ewert вдруг случайно не вмешается по поводу симметричности и эрмитовости (а он это, надо сказать, страсть как любит :D ), то Вы успеете продолжить запись $\int\psi^*A~A~\psi ~dV=...$, пользуясь $A=A^*$.


Предложенное вырожение следует сразу из определения ($A^2=A*A$) и зачем же нам пользоваться тем, что $A=A^*$, что кстати говоря, неверно, т.к. А запросто может быть комплексным.

Himfizik в сообщении #522909 писал(а):
nobody47 в сообщении #522902 писал(а):
Вы разве использовали эрмитовость оператора А? Вы, получается доказали для произвольного оператора, что точно неправильно. И я не вижу где ошибка, что еще страшнее

Хорошо, что не видите, потому что ее там нет. Во втором равенстве и использовали.


Эээ да, я как обычно невнимателен. Но хотелось бы вас еще помучать вопросами:
$<n|A|\psi>=<\psi|A|n>$, если А - эрмитов. Но насколько я понимаю оператор А действует на все что стоит слева, т.е. сначала на функцию $\psi$, а после равенства на n! Как мы пронесли функцию через оператор??

$\int\psi^*A^2\psi ~dV=\int(\psi^*AE)(EA\psi)~dV=\int(\psi^*AE)(\psi^*AE)^t~dV=\int|(\psi^*AE)|^2~dV$ а так правильно? (t - эрмитово сопряжение)

-- 04.01.2012, 17:32 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 16:58 


31/10/10
404
nobody47 в сообщении #522916 писал(а):
Предложенное вырожение следует сразу из определения () и зачем же нам пользоваться тем, что , что кстати говоря, неверно, т.к. А запросто может быть комплексным...

Звездочкой у меня обозначено эрмитово сопряжение. Это раз.
Оператор обычно действует на функцию справа от него. Это два.
В случае эрмитова оператора, действительно, можно считать, что он как бы и налево действует. Это три.
$(AB)^*=B^*A^*$. Это четыре.
Почитайте что-нибудь о бра- и кет- векторах. То, что Вы написали ниже немного неудачно выглядит в плане обозначений и, по-моему, такая форма записи указывает на непонимание человека, производящего ее (эту запись).
В одной из формул выше Вы потеряли сопряжение. И нет особенного смысла в "интегральной форме" лишний раз писать единичный оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 17:33 
Модератор
Аватара пользователя


13/08/09
2396
 i  Эрмитово сопряжение обозначается даггером $A^\dagger$
Звездочкой обозначется комплексное сопряжение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 17:38 


31/10/10
404

(Оффтоп)

Хм, не только я так обозначаю: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1% ... 1%86%D0%B0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 20:39 
Заслуженный участник


06/02/11
356
утверждение, что $\langle n|A|\psi\rangle=\langle \psi|A|n\rangle$ для эрмитова $A$ --- неверно. Как будет правильно, сообразите сами.

еще добавлю, что вставлять полную систему состояний тут ненужно, достаточно так: $\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\langle\psi|A^\dagger A|\psi\rangle=|A|\psi\rangle|^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 21:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368

(Про обозначения)

Насчет обозначений это, действительно, совершенно не однозначно (в том смысле, что в разных источниках обозначают по-разному), но, вероятно, удобнее иметь разные значки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6717
В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю. Проясните что доказываем для тех кто не в теме. Может, что квадрат эрмитового оператора положительно определён? Это похоже на правду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #523055 писал(а):
В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю.

Там всё очень просто: $\lvert a\rangle$ - вектор-столбец, $\langle a\rvert$ - вектор-строка. Скалярные произведения записываются без значков интегрирования или суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение04.01.2012, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11616
мат-ламер в сообщении #523055 писал(а):
В угловых скобках к сожалению ничего не понимаю.

Дирак П.А.М. "Принципы квантовой механики"

 Профиль  
                  
 
 Re: Дираковские обозначения, простая задача.
Сообщение05.01.2012, 08:08 
Аватара пользователя


04/01/12
33
type2b в сообщении #523048 писал(а):
утверждение, что $\langle n|A|\psi\rangle=\langle \psi|A|n\rangle$ для эрмитова $A$ --- неверно. Как будет правильно, сообразите сами.

еще добавлю, что вставлять полную систему состояний тут ненужно, достаточно так: $\langle\psi|A^2|\psi\rangle=\langle\psi|A^\dagger A|\psi\rangle=|A|\psi\rangle|^2$.


1)опровергая равенство вы разнесли уже готовое решение с которым согласились 2 форумчанина))

2) $\int\psi^*A^2\psi ~dV=\int(\psi^*AE)(EA\psi)~dV=\int(\psi^*AE)(\psi^*AE)^\dagger ~dV=\int|(\psi^*AE)|^2~dV$
Тут в последнем равенстве я возвожу в квадрат, потому что в скобках, после действия операторов, будут стоять функции и $\dagger$ перейдет просто в сопряжение. Е - тождественный оператор и не меняется.
Еще я наивно полагаю что $\psi^\dagger = \psi^*$, т.к. $\psi$ - функция, а не оператор.
Если в этом выражении есть ошибка, большая просьба указать где конкретно.

3) готов согласиться с таким равенством: $\langle n|A|\psi\rangle ^\dagger=\langle \psi|A^\dagger|n\rangle$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group