Разбиение n последовательных натуральных чисел

[Ktina]

Как доказывается невозможность разбиения n последовательных натуральных чисел на два подмножества с равным произведением?
Я доказала первые 10 частных случаев для $n\in\{1, 2, \dots , 10\}$ (на международке предлагали случай n=6).
Но как доказать общее утверждение для всех $n\in\mathbb N$?

[Sonic86]

В лоб: решите уравнение $n!=x^2$.

[phys]

$x = \sqrt{n!} \\ $? :)

[Sonic86]

phys в сообщении #522646 писал(а):

$x = \sqrt{n!} \\ $? :)

Эх, я сначала диофантовы уравнения тоже так решал
Можно, кстати, даже уравнение не формулировать, а прямо применять постулат Бертрана к гипотетическому разбиению.
Нельзя разбить так и на 3 группы, на 4 группы, на 5 групп, на ...

[venco]

Sonic86 в сообщении #522645 писал(а):

В лоб: решите уравнение $n!=x^2$.

А разве требуется, чтобы числа начинались с 1?

[Ktina]

venco в сообщении #522661 писал(а):

Sonic86 в сообщении #522645 писал(а):

В лоб: решите уравнение $n!=x^2$.

А разве требуется, чтобы числа начинались с 1?

Вы меня буквально на минуту опередили, я как раз это и хотела сказать. Раз уж на международке предлагали случай n=6, то уж кому придёт в голову, что там спрашивалось, является ли число 720 точным квадратом

[Sonic86]

venco в сообщении #522661 писал(а):

А разве требуется, чтобы числа начинались с 1?

Угу, тупанул. Тогда достаточно (но не необходимо) $n!=x^{2}m!$.
Поиск по формулам рулит! topic3432.html
Однако похоже, что там все сложно...

[Ktina]

Sonic86 в сообщении #522670 писал(а):

venco в сообщении #522661 писал(а):

А разве требуется, чтобы числа начинались с 1?

Угу, тупанул. Тогда достаточно (но не необходимо) $n!=x^{2}m!$.
Поиск по формулам рулит! topic3432.html
Однако похоже, что там все сложно...

Вот ссылка на ту самую задачу с международки, чтобы не было амфиболий: http://www.imomath.com/othercomp/I/Imo1970.pdf (задача 4). Поскольку она лёгкая, у меня руки зачесались обобщить (вместо 6 поставить n), тут-то я и пролетела.