2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 13:19 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Последовательность $(a_n)_{n\in\mathbb N_0}$ задана формулой

$$
\begin{cases}
a_0=a_1=1 \\
a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n
\end{cases}
$$

Последовательность $(b_n)_{n\in\mathbb N_0}$ задана формулой

$$
\begin{cases}
b_0=1 \\
b_1=7 \\
b_{n+2}=2b_{n+1}+3b_n
\end{cases}
$$

Какие числа содержатся сразу в обеих последовательностях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 13:29 


25/08/11

1074
Может быть не самый простой способ, зато сразу виден: найти формулы для членов и приравнять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 13:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
sergei1961 в сообщении #522178 писал(а):
Может быть не самый простой способ, зато сразу виден: найти формулы для членов и приравнять.

Ну-ну, желаю удачи :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 15:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
Корни характеристических уравнений --- целые числа. Получится уравнение типа $2^na+3^mb=c$, которое должно решиться. (Во всяком случае, ни одного примера уравнения такого типа, которое нельзя было бы решить, мне неизвестно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 15:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #522205 писал(а):
Получится уравнение типа $2^na+3^mb=c$, которое должно решиться.

Должно, да не обязано.
Тут решить школьными методами можно, без всяких уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 15:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
Всегда считал, что такие уравнения решаются школьными методами. Будут только тривиальные решения, либо вообще решений не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 15:50 


25/08/11

1074
Предложенным методом думать не надо. Понятно, что можно погадать, поискать: одно на что-то делится, другое нет. Такое решение или везения требует, или достаточно отработанных спецнавыков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 16:16 
Заслуженный участник


02/08/10
629
sergei1961 в сообщении #522217 писал(а):
Предложенным методом думать не надо. Понятно, что можно погадать, поискать: одно на что-то делится, другое нет. Такое решение или везения требует, или достаточно отработанных спецнавыков.

По поводу "делится - не делится" , если не ошибаюсь, то по любому модулю в каждой последовательности будут встречаться остатки 1...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 17:25 


26/08/11
2110
По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 17:31 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Shadow в сообщении #522286 писал(а):
По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

Значит ошибся)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение02.01.2012, 18:30 


24/12/11
17
Находим формулу общего члена первой последовательности через характеристическое уравнение,находим формулу общего члена второй последовательности,приравниваем и получаем уравнение в целых числах:
3^(n+1) - 2^(n) = 2(-1)^(n) (Извините за такое оформление)
Которое имеет решение только для n=0,т.е. у последовательностей совпадают только первые члены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение03.01.2012, 12:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #522286 писал(а):
По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

Вы будете смеяться, но я решила как раз по модулю 21, совершенно упустив из виду, что можно решить по модулю 8. Просто увидела, что один из членов первой последовательности равен 21, и рассмотрела поведение обеих последовательностей по этому модулю, как-то интуиция меня подтолкнула. А вот про 8 не догадалась. Ну точно ненормальная :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение03.01.2012, 13:13 


25/08/11

1074
Видите какой хороший пример на сказанное выше. Короткое нестандартное решение-это результат часто везения или набитости. А стандартное тупо, зато эффективно. Дай бог уметь и так и так, да не всегда получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последовательности
Сообщение03.01.2012, 13:28 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
sergei1961 в сообщении #522525 писал(а):
Видите какой хороший пример на сказанное выше. Короткое нестандартное решение-это результат часто везения или набитости.

Или таланта. Но это не про меня, конечно.

-- 03.01.2012, 12:33 --

sergei1961 в сообщении #522525 писал(а):
А стандартное тупо, зато эффективно. Дай бог уметь и так и так, да не всегда получается.

И так и так не бывает. Это как в шахматах - есть атакеры, а есть дефендеры. Невозможно быть и тем, и другим сразу. Петросян - классический пример стопроцентного дефендера, а Таль, Андерсен, Чигорин - атакеры.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group