Две последовательности

[Ktina]

Последовательность $(a_n)_{n\in\mathbb N_0}$ задана формулой

$$ \begin{cases} a_0=a_1=1 \\ a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n \end{cases} $$

Последовательность $(b_n)_{n\in\mathbb N_0}$ задана формулой

$$ \begin{cases} b_0=1 \\ b_1=7 \\ b_{n+2}=2b_{n+1}+3b_n \end{cases} $$

Какие числа содержатся сразу в обеих последовательностях?

[sergei1961]

Может быть не самый простой способ, зато сразу виден: найти формулы для членов и приравнять.

[Ktina]

sergei1961 в сообщении #522178 писал(а):

Может быть не самый простой способ, зато сразу виден: найти формулы для членов и приравнять.

Ну-ну, желаю удачи

[nnosipov]

Корни характеристических уравнений --- целые числа. Получится уравнение типа $2^na+3^mb=c$, которое должно решиться. (Во всяком случае, ни одного примера уравнения такого типа, которое нельзя было бы решить, мне неизвестно.)

[Ktina]

nnosipov в сообщении #522205 писал(а):

Получится уравнение типа $2^na+3^mb=c$, которое должно решиться.

Должно, да не обязано.
Тут решить школьными методами можно, без всяких уравнений.

[nnosipov]

Всегда считал, что такие уравнения решаются школьными методами. Будут только тривиальные решения, либо вообще решений не будет.

[sergei1961]

Предложенным методом думать не надо. Понятно, что можно погадать, поискать: одно на что-то делится, другое нет. Такое решение или везения требует, или достаточно отработанных спецнавыков.

[MrDindows]

sergei1961 в сообщении #522217 писал(а):

Предложенным методом думать не надо. Понятно, что можно погадать, поискать: одно на что-то делится, другое нет. Такое решение или везения требует, или достаточно отработанных спецнавыков.

По поводу "делится - не делится" , если не ошибаюсь, то по любому модулю в каждой последовательности будут встречаться остатки 1...

[Shadow]

По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

[MrDindows]

Shadow в сообщении #522286 писал(а):

По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

Значит ошибся)

[Ivan_Ivanov]

Находим формулу общего члена первой последовательности через характеристическое уравнение,находим формулу общего члена второй последовательности,приравниваем и получаем уравнение в целых числах:
3^(n+1) - 2^(n) = 2(-1)^(n) (Извините за такое оформление)
Которое имеет решение только для n=0,т.е. у последовательностей совпадают только первые члены.

[Ktina]

Shadow в сообщении #522286 писал(а):

По модулю 8 в одной последовательности остатки только 3 и 5 (кроме первые 2 члена), в другой только 1 и 7.

Вы будете смеяться, но я решила как раз по модулю 21, совершенно упустив из виду, что можно решить по модулю 8. Просто увидела, что один из членов первой последовательности равен 21, и рассмотрела поведение обеих последовательностей по этому модулю, как-то интуиция меня подтолкнула. А вот про 8 не догадалась. Ну точно ненормальная

[sergei1961]

Видите какой хороший пример на сказанное выше. Короткое нестандартное решение-это результат часто везения или набитости. А стандартное тупо, зато эффективно. Дай бог уметь и так и так, да не всегда получается.

[Ktina]

sergei1961 в сообщении #522525 писал(а):

Видите какой хороший пример на сказанное выше. Короткое нестандартное решение-это результат часто везения или набитости.

Или таланта. Но это не про меня, конечно.

-- 03.01.2012, 12:33 --

sergei1961 в сообщении #522525 писал(а):

А стандартное тупо, зато эффективно. Дай бог уметь и так и так, да не всегда получается.

И так и так не бывает. Это как в шахматах - есть атакеры, а есть дефендеры. Невозможно быть и тем, и другим сразу. Петросян - классический пример стопроцентного дефендера, а Таль, Андерсен, Чигорин - атакеры.