Подпоследовательность. Задача на доказательство

[Sledovatel]

Задание.
Доказать, что из любой не ограниченной сверху последовательности можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к $+\infty$.

Мои мысли.
Пусть дана последовательность $({x_n})_{n=1}^{\infty}$. Т.к. по условию она не ограничена сверху, то для любого натурального $k$ существует член последовательности $x_{n_k}$ такой, что $|x_{n_k}| > n_k$.
Достаточно ли этого? Можно ли говорить, что последовательность из $x_{n_k}$ будет искомой? У меня есть кое-какие сомнения на этот счёт.
Объясните, пожалуйста, что к чему.
Заранее спасибо.

[Null]

Проверьте $x_n=n-1$, ваше решение становиться правильным если его чуть-чуть подправить.

[bot]

Null в сообщении #522245 писал(а):

чуть-чуть подправить

Два раза.

[Sledovatel]

А, модуль лишний. Просто $x_{n_k} > n_k$. Модуль нужен, когда просто бесконечность.

Null в сообщении #522245 писал(а):

Проверьте $x_n=n-1$, ваше решение становиться правильным если его чуть-чуть подправить.

$n-1$ - натуральное число, но в условии не говорится о том, что дана последовательность натуральных чисел. Просто последовательность, не ограниченная сверху.

[Null]

Если что-то не запрещено, значит оно разрешено.

[Sledovatel]

Нет, у нас всё-таки произвольная последовательность. Если брать только натуральные числа, то получается, что мы сужаем задачу.

[bot]

Один раз исправил, осталось исправить то, на что намекал Null

[Sledovatel]

Сдаюсь. Намёка не понял.

[Null]

Если ваше решение не работает в узком случае, то оно не работает и в широком.
Например вы скажите "все яблоки - красные", я вам скажу у "меня зеленое яблоко", а вы мне скажите "меня не интересует ваше яблоко".

Я хотел сказать, что, может быть, всегда $x_i<i$ и, тогда $x_{n_k}>n_k$ не будет существовать.

[bot]

Sledovatel в сообщении #522242 писал(а):

Т.к. по условию она не ограничена сверху, то для любого натурального $k$ существует член последовательности $x_{n_k}$ такой, что ...

Лучше было бы сказать найдётся $n_k$. ну да ладно. Интереснее вопрос - какой?

[Sledovatel]

Null в сообщении #522269 писал(а):

Я хотел сказать, что, может быть, всегда $x_i<i$ и, тогда $x_{n_k}>n_k$ не будет существовать.

Как же так? Всегда будет существовать, иначе бы задание было бы невыполнимо, нам же для произвольной последовательности надо доказать, в т.ч. и для такой, когда $x_i < i$.

bot в сообщении #522274 писал(а):

Sledovatel в сообщении #522242 писал(а):

Т.к. по условию она не ограничена сверху, то для любого натурального $k$ существует член последовательности $x_{n_k}$ такой, что ...

Лучше было бы сказать найдётся $n_k$. ну да ладно. Интереснее вопрос - какой?

Такой, что надо доказать, что будет выполняться условие того, что последовательность стремится к $+oo$: $x_{n_{k+1}} > x_{n_k}$. Но вот как это сделать, на этот счёт у меня мыслей нет, и этого нет у меня в решении, поэтому у меня и были сомнения на счёт правильности.

-- Пн янв 02, 2012 17:28:07 --

Один момент я исправил, что второе исправить, хоть убейте, не понимаю.

[Null]

Может быть так, что не существует $n_k$, такого что $x_{n_k}>n_k$, но $x_{n_k}\to+\infty$ при $k\to\infty$.
Например $x_i=i-1$ и $n_k=k$

[Sledovatel]

В общем, я так и не понял, что надо переделать в моём исходном решении, не вижу, и всё. И не могу понять, что Вы хотите сказать.
Может быть, то, что я написал в самом начале, в корне неверно, и надо совсем по-другому?
Например, так:

Берём, например, $x_1$ в качестве первого члена искомой подпоследовательности $y_1$.
Затем рассматриваем следующий. Если он меньше $x_1$, то он не подходит, рассматриваем следующий; если он больше $x_1$, то подходит, будет $y_2$.
И так для всех. Если найден член подпоследовательности $y_k$, равный $x_n$, то в качестве $y_{k+1}$ берём такой член последовательности $(x_n)$, что $n_{k+1} > n_k$ и $x_{n_{k+1}} > x_{n_k}$. Такой член в исходной последовательности всегда найдётся, т.к. она не ограниченна сверху.
Таким образом мы можем выделить стремящуюся к $+oo$ подпоследовательность из произвольной не ограниченной сверху последовательности.

Вроде не к чему придраться. Правильно?

[Null]

У вас не доказано, что $y_k\to+\infty$, возрастающая последовательность не обязана стремиться к бесконечности.

[Sledovatel]

Да, точно. Опять тупик.