В общем, я так и не понял, что надо переделать в моём исходном решении, не вижу, и всё. И не могу понять, что Вы хотите сказать.
Может быть, то, что я написал в самом начале, в корне неверно, и надо совсем по-другому?
Например, так:
Берём, например,
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
в качестве первого члена искомой подпоследовательности
![$y_1$ $y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/0/f7019b486d7fc8f840b0ce0bb0d4171482.png)
.
Затем рассматриваем следующий. Если он меньше
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
, то он не подходит, рассматриваем следующий; если он больше
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
, то подходит, будет
![$y_2$ $y_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/5/4c512beeb3e83909b7e19f3cabcfa39582.png)
.
И так для всех. Если найден член подпоследовательности
![$y_k$ $y_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/6217c8bb52c9d9f0adb29e37b52dad4182.png)
, равный
![$x_n$ $x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/0/d7084ce258ffe96f77e4f3647b250bbf82.png)
, то в качестве
![$y_{k+1}$ $y_{k+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e6653183e6f33bbfeb28d071ba0a395f82.png)
берём такой член последовательности
![$(x_n)$ $(x_n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/2/5f225c6964099cfccd7b72b949e82a0582.png)
, что
![$n_{k+1} > n_k$ $n_{k+1} > n_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/1/9713e7101904c0e987e0e8968ba8537382.png)
и
![$x_{n_{k+1}} > x_{n_k}$ $x_{n_{k+1}} > x_{n_k}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/0/3d01fbba3ac188c9bb0bb4d55784de2d82.png)
. Такой член в исходной последовательности всегда найдётся, т.к. она не ограниченна сверху.
Таким образом мы можем выделить стремящуюся к
![$+oo$ $+oo$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/396e43ff001921a619848de7947c725182.png)
подпоследовательность из произвольной не ограниченной сверху последовательности.
Вроде не к чему придраться. Правильно?