Уравнение 4-й степени

[RFZ]

Всем привет!
Помогите пожалуйста решить следующее уравнение:
$x^4-4x-1=0$

[Whitaker]

Перенесите $4x+1$ в правую часть и добавьте к обеим частям $2x^2+1$

[RFZ]

У меня получилось:
$x^4+2x^2+1=2x^2+4x+2$
$(x^2+1)^2=2(x^2+2x+1)$
$(x^2+1)^2=2(x+1)^2$

[Whitaker]

Теперь воспользуйтесь формулой $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

[Sonic86]

(т.е. просто решаем уравнение обычным методом Феррари.)

[RFZ]

Но как? У меня же перед $(x+1)^2$ стоит коэффициент равный $2$

[Whitaker]

Занесите $2$ в скобку и получите то, что я имел ввиду

[RFZ]

$(x^2+1)^2=2(x+1)^2$
$(x^2+1)^2-(\sqrt 2 x+\sqrt 2)^2=0$

-- Вс янв 01, 2012 13:01:56 --

$(x^2+\sqrt 2 x+\sqrt 2+1)(x^2-\sqrt 2 x+1-\sqrt 2)=0$

[Whitaker]

Теперь приравняйте первую к нулю, а затем вторую. Решите квадратное уравнение и всё.
Квадратные уравнения Вы уже должны сами решить

[RFZ]

Теперь понятно
Большое спасибо Вам Whitaker

[Klad33]

Методом неопределенных коэффициентов проще:

$x^4-4*x-1=(x^2+Ax+B)(x^2+A_1x+B_1)=0$

$A+A_1=0$

$B+B_1+A*A_1$=0

$A*B_1+B*A_1=-4$

$B*B_1=-1$

Отсюда быстро находятся такие же $A, B, A_1, B_1$ как и в приведенной выше формуле.

[arqady]

Klad33 , а вот это $x^8+14x^4+1$ можете разложить с целыми коэффициентами?

[Edward_Tur]

$(x^2+1)^4-4(x^3-x)^2$

[Lunatik]

$(1+2 x+2 x^2-2 x^3+x^4) (1-2 x+2 x^2+2 x^3+x^4)$

[Klad33]

$\left [ {x}^{2}-\sqrt {3}x+x-\sqrt {3}+2 \right] \left [ {x}^{2}+ \sqrt {3}x+x+\sqrt {3}+2 \right] \left [ {x}^{2}-\sqrt {3}x-x+\sqrt {3 }+2 \right ] \left [ {x}^{2}+\sqrt {3}x-x-\sqrt {3}+2 \right ]$

Могу еще более мелко представить это разложение. Но, думаю, Вам и самим просто будет разложить 4 квадратных трехчлена. Естественно, все 8 корней - комплексные.