2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадраты вида 111...111-ddd...ddd
Сообщение29.12.2011, 14:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найти все точные квадраты вида $\underbrace{11\dots 1}_{2n}-\underbrace{\overline{dd\dots d}}_{n}$, где d - десятичная цифра, а n - натуральное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты вида 111...111-ddd...ddd
Сообщение29.12.2011, 15:17 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Это несложно. Обозначим $10^n$ за $x$ и получим вопрос: при каких целых $x$ число $x^2-1-d(x-1)=x^2-dx+d-1$ будет точным квадратом. Решаем его отдельно для каждого $d \in \{1,2,\dots,9\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты вида 111...111-ddd...ddd
Сообщение29.12.2011, 16:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
nnosipov в сообщении #521309 писал(а):
Это несложно. Обозначим $10^n$ за $x$ и получим вопрос: при каких целых $x$ число $x^2-1-d(x-1)=x^2-dx+d-1$ будет точным квадратом. Решаем его отдельно для каждого $d \in \{1,2,\dots,9\}$.

Если обозначить этот точный квадрат через $y^2$, то получается уравнение:
$$4y^2 = (2x-d)^2 - (d^2 - 4d + 4)$$
которое упрощается до
$$(2x-d+2y)(2x-d-2y) = d^2 - 4d + 4$$
и таким образом все сводится к перебору разложений $d^2 - 4d + 4$ в произведение двух множителей одной четности.

Особый случай здесь $d=2$, когда правая часть равна 0. Он соответствует бесконечной серии решений:
$$\underbrace{11\dots 1}_{2n}-\underbrace{\overline{22\dots 2}}_{n} = {\underbrace{\overline{33\dots 3}}_{n}}^2$$

Кроме них есть еще только один квадрат: $11-7=2^2.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group