Квадраты вида 111...111-ddd...ddd

[Ktina]

Найти все точные квадраты вида $\underbrace{11\dots 1}_{2n}-\underbrace{\overline{dd\dots d}}_{n}$, где d - десятичная цифра, а n - натуральное число.

[nnosipov]

Это несложно. Обозначим $10^n$ за $x$ и получим вопрос: при каких целых $x$ число $x^2-1-d(x-1)=x^2-dx+d-1$ будет точным квадратом. Решаем его отдельно для каждого $d \in \{1,2,\dots,9\}$.

[maxal]

nnosipov в сообщении #521309 писал(а):

Это несложно. Обозначим $10^n$ за $x$ и получим вопрос: при каких целых $x$ число $x^2-1-d(x-1)=x^2-dx+d-1$ будет точным квадратом. Решаем его отдельно для каждого $d \in \{1,2,\dots,9\}$.

Если обозначить этот точный квадрат через $y^2$, то получается уравнение:

$$4y^2 = (2x-d)^2 - (d^2 - 4d + 4)$$

которое упрощается до

$$(2x-d+2y)(2x-d-2y) = d^2 - 4d + 4$$

и таким образом все сводится к перебору разложений $d^2 - 4d + 4$ в произведение двух множителей одной четности.

Особый случай здесь $d=2$, когда правая часть равна 0. Он соответствует бесконечной серии решений:

$$\underbrace{11\dots 1}_{2n}-\underbrace{\overline{22\dots 2}}_{n} = {\underbrace{\overline{33\dots 3}}_{n}}^2$$

Кроме них есть еще только один квадрат: $11-7=2^2.$