Полнота метрического пространства.

[TRUEMATEMATIK]

$\forall n,m>N, n\neq{m} \left|x_n-x_m\right|=\left|{\frac{{x_n}^3-{x_m}^3}{{x_n}^2+{x_n}{x_m}+{x_m}^2}}\right|\leqslant\left|\frac{{x_n}^3-{x_m}^3}{\min\{{x_n}^2+{x_n}{x_m}+{x_m}^2;n,m>N\}}\right|$
но из этого ведь не следует, что $\left|x_n-x_m\right|<{E}$
поскольку мы ведь не можем утверждать, что знаменатель больше либо равен 1

[Dan B-Yallay]

TRUEMATEMATIK в сообщении #520672 писал(а):

поскольку мы ведь не можем утверждать, что знаменатель больше либо равен 1

Если последовательность фундаментальна и отделена от 0, то существует минимум $\min\limits_{m,n}(x_m^2+ x_mx_n+x_n^2) = C$, а значит

$$|x_m^3-x_n^3| < \varepsilon \ \Rightarrow \ |x_n-x_m|< \dfrac {\varepsilon}{x_m^2+ x_mx_n+x_n^2} \leqslant \dfrac {\varepsilon}{C}$$

a значит, эта же $\{x_n\}$ последовательность также фундаментальна в нормальной метрике. $\mathbb R$ в обычной метрике полно, поэтому ... дальше сами.

Останется лишь разобраться со случаем если фундаментальная последовательность не отделена от 0.

[Booben]

То есть, если последовательность не отделена от нуля, то она сходится к нулю, 0 - находится на R, а так ка мы брали произвольную фундаментальную последовательность, следовательно пространство полное?

[Dan B-Yallay]

Booben в сообщении #520695 писал(а):

То есть, если последовательность не отделена от нуля, то она сходится к нулю,

Это тоже надо показывать.

PS. И да, с предыдущим разобрались? Там ведь не до конца расписано.

[ewert]

Из фундаментальности последовательности в "кубической" метрике следует, во всяком случае, её ограниченность в ней же. И, следовательно, её ограниченность в обычном смысле. Однако на ограниченном отрезке кубический корень непрерывен и, следовательно, равномерно непрерывен. Поэтому из неограниченного сближения кубов чисел этой последовательности следует неограниченное сближение между собой и самих этих членов (в обычном смысле). Т.е. последовательность, фундаментальная в смысле разности кубов, фундаментальна и в обычном смысле и, следовательно, сходится к чему-то в обычном смысле. Но тогда она сходится ровно тому же и в кубическом смысле -- просто из-за непрерывности куба.

[Booben]

Dan B-Yallay в сообщении #520698 писал(а):

Это тоже надо показывать.
PS. И да, с предыдущим разобрались? Там ведь не до конца расписано.

МММ, я думал, что для этого достаточно будет сказать преподавателю, что "Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то
эта последовательность отделена от нуля."
Спасибо огромное, что помогаете мне и всё разъясняете.
Просто не вклинился я вовремя в теорию функционального анализа(кстати в теории норм и Гильбертовых пространств мне всё легче далось, а вот с полнотой и метрикой с самого начала не заладилось).

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #520705 писал(а):

Однако на ограниченном отрезке кубический корень непрерывен и, следовательно, равномерно непрерывен.

Хм. На отрезке $[-1,1]$ кубический корень тоже равномерно непрерывен?
А то я не пойму, чего это я ноль отдельно рассматриваю.

[Booben]

А в нашем учебник, под авторством В.А. Треногина, о линейных и нормированных пространствах только пару слов сказано.

[Dan B-Yallay]

Booben в сообщении #520725 писал(а):

МММ, я думал, что для этого достаточно будет сказать преподавателю, что "Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то
эта последовательность отделена от нуля."

Я говорил не об этом, а о том, что уже подсказал ув. ewert:

ewert в сообщении #520705 писал(а):

поcледовательность, фундаментальная в смысле разности кубов, фундаментальна и в обычном смысле и, следовательно, сходится к чему-то в обычном смысле. Но тогда она сходится ровно тому же и в кубическом смысле -- просто из-за непрерывности куба.

[Booben]

Цитата:

Я говорил не об этом, а о том, что уже подсказал ув. ewert

Я имел ввиду вторую часть (при последовательности не отделенной от нуля).

-- 27.12.2011, 23:35 --

Всем, огромное спасибо за ответы. Я очень признателен за проявленное внимание и уделенное время.

[Профессор Снэйп]

Между прочим $x \mapsto x^3$ - изометрия (между $\mathbb{R}$ с первой и второй метрикой. Изометрия сохраняет полноту.