Полнота метрического пространства.

[Booben]

Доброго времени! Помогите пожалуйста доказать. Пропустил тему, а интернет только больше пудрит мозги.
Есть пространство с заданной на нём метрикой:
$p(x,y)=|x^3-y^3|$
Нужно доказать его полноту. Начал идти по определениям.
Пространство полное, если все фундаментальные последовательности в нем сходятся.
Фундаментальная последовательность:
Для каждого E>0 существует n0: Для любых m,n>=n0 p(xm,xn)<E
Вот. Как я понял, нужно доказать, что любая последовательность в данном пространстве сходится, но как это сделать?
заранее спасибо.

[Booben]

Извиняюсь, любая фундаментальная последовательность

[мат-ламер]

Booben в сообщении #520477 писал(а):

Есть пространство с заданной на нём метрикой

Извиняюсь, есть пространство чего - рациональных чисел, например, или целых?

[Booben]

Задание звучит так:
Является ли полным метрическим пространством вещественная прямая R с метрикой
$|x^3-y^3|$
Извиняюсь за неточность.

[мат-ламер]

Долустим у нас есть фундаментальная последовательность в нашем простанстве. Будет ли она фундаментальна в множестве действительных чисел с обычной метрикой?

[Booben]

мат-ламер в сообщении #520594 писал(а):

Долустим у нас есть фундаментальная последовательность в нашем простанстве. Будет ли она фундаментальна в множестве действительных чисел с обычной метрикой?

с метрикой |x-y| (вы её имеете в виду)? :) Если честно, не смогу сказать. Я просто пока не могу понять определения фундаментальной последовательности - наизусть выучил, решил, что позже пойму. Объясните пожалуйста.

[мат-ламер]

Booben в сообщении #520601 писал(а):

Объясните пожалуйста.

Если честно, то я программист, а не преподаватель. Как-то лень учебник переписывать. Может найдутся желающие помочь?

[Booben]

Так вроде понял... Если $|x^3-y^3|<E$, будет ли |x-y|<E?
Тогда вроде нет, ведь и то и другое если >1 то первый будет больше, <1 - наоборот больший будет второй модуль.
Если я правильно понимаю

[Dan B-Yallay]

Нет Вы не поняли. Возьмите числовую последовательность $\{x_n\}$. Выпишите здесь, что значит $\{x_n\}$ фундаментальна в данной Вами метрике $\rho (x,y)$

[Booben]

Dan B-Yallay в сообщении #520614 писал(а):

Нет Вы не поняли. Возьмите числовую последовательность $\{x_n\}$. Выпишите здесь, что значит $\{x_n\}$ фундаментальна в данной Вами метрике $\rho (x,y)$

$|x_m^3-x_n^3|<Eps $ для каждого Eps существует $n_0<Eps $, такой что для каждого $m,n>_=n_0 : \rho(x,y)<Eps $

[Dan B-Yallay]

Правильно. А теперь подумайте, будет ли эта же последовательность фундаментальной в обычной метрике? То есть можем ли мы утверждать, что

$$\forall \varepsilon >0\ \exists n_0: m,n > n_0 \Rightarrow |x_m - x_n|< \varepsilon $$

[Booben]

Да, будет :)
По определению. :)

[Dan B-Yallay]

Покажите.

[Booben]

Извиняюсь, ошибся, не из определения.
Я так понял, нужно разложить $|x_m^3-x_n^3|$ через разность кубов? То есть:
$(x_m^3-x_n^3)=(x_m-x_n)*(x_m^2+x_m*x_n+x_n^2)$
$(x_m^2+x_m*x_n+x_n^2)>0$
Дальше затрудняюсь

[Carden]

Пусть последовательность $ \{x_n\} \text{такая, что} \exists N\in \mathbb{N} ; \forall n>N x_n \neq 0$. Тогда $\forall n,m>N, n\neq{m} \left|x_n-x_m\right|=\left|{\frac{{x_n}^3-{x_m}^3}{{x_n}^2+{x_n}{x_m}+{x_m}^2}}\right|\leqslant\left|\frac{{x_n}^3-{x_m}^3}{\min\{{x_n}^2+{x_n}{x_m}+{x_m}^2;n,m>N\}}\right|$.
Если же в посл-ти, фундаментальной в метрике $\rho(x,y)$,бесконечное количество нулей, то она сходится к нулю.