Исследовать интеграл на сходимость

[Uryuk]

$\[\int\limits_0^\infty {{x^\alpha }\arctg x \cdot \cos\frac{1}{x}dx} \]$

По моему некомпетентному мнению, он сходится абсолютно при $-2<\alpha<{-1}$
и условно при $-3<\alpha\leqslant{-2}$

Но возникает вопрос, что с ним происходит при $\alpha\geqslant{-1}$
Хотелось бы чтобы он там расходился, но доказать это у меня не получается

[ИСН]

На бесконечности вся мишура отваливается - например, потому, что стремится к константе, отличной от нуля. Остаётся степенная функция, которая - - -

[Uryuk]

Сходится абсолютно при $\alpha<{-1}$?

-- 27.12.2011, 18:19 --

Сходится абсолютно при $\alpha<{-1}$?

[Dan B-Yallay]

Uryuk в сообщении #520584 писал(а):

Сходится абсолютно при $\alpha<{-1}$?

На бесконечности - да. Но еще есть особенность в нуле.

[Uryuk]

В нуле сходится абсолютно при $\alpha>{-2}$, условно при $\alpha>{-3}$
Итого $\alpha>{-2}$ абсолютно и ${-3}<\alpha\leqslant{-2}$ условно

На бесконечности сходится абсолютно при $\alpha<{-1}$
И условно при $\alpha<{-2}$(это видимо роли не играет) <- вот это скорее всего не так?

-- 27.12.2011, 18:42 --

В нуле сходится абсолютно при $\alpha>{-2}$, условно при $\alpha>{-3}$
Итого $\alpha>{-2}$ абсолютно и ${-3}<\alpha\leqslant{-2}$ условно

На бесконечности сходится абсолютно при $\alpha<{-1}$
И условно при $\alpha<{-2}$(это видимо роли не играет) <- вот это скорее всего не так?